El tercer tipo de asíntota que puede presentar una función es la oblicua. En este caso la gráfica de la función se acerca a una recta cuya pendiente es distinta de 0, es decir, no es paralela al eje X.
Como vimos en el punto 1, las funciones racionales cuyo numerador supera en un grado al denominador tienen una asíntota de este tipo. Veamos en la siguiente animación como la gráfica de la función se aproxima a su asíntota oblicua, que en este caso es y=x-1.
Importante
La recta horizontal y=mx+n, m≠0 es una asíntota oblicua de y=f(x) si se verifica alguno de estos límites:
Para calcular la ecuación de la asíntota, y=mx+n, tendremos que calcular:
Ejemplo o ejercicio resuelto
Calcula la asíntota oblicua de las siguientes funciones:
(a)
Como la función es racional y el grado del numerador es una unidad mayor que el del
denominador, nuestra función tiene una asíntota oblicua. Como sabemos
que la función es racional tiene la misma asíntota oblicua por los dos
lados. Vamos a calcularla en +∞.
Por lo tanto, la asíntota oblicua que buscamos es y=x+9
(b)
Igual que en el apartado a, tenemos una función racional donde el grado del numerador es una unidad mayor que el del
denominador, por lo que nuestra función tiene una asíntota oblicua. Vuelve a tener la misma asíntota oblicua por los dos
lados al ser una función racional. Vamos a calcularla en +∞.
Por lo tanto, la asíntota oblicua que buscamos es y=2x+6
Calculo analítico de asíntotas
En este vídeo puedes ver como realizar el calculo de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función racional.
En las siguientes funciones racionales indica las asíntotas que tienen atendiendo a las raíces del denominador así como al grado del numerador y del denominador.
Horizontal
Correcto
Incorrecto!
Vertical
Correcto
Incorrecto!
Oblicua
Correcto
Incorrecto!
Ninguna
Correcto
Incorrecto!
Como el grado del numerador es igual al grado del denominador, tiene asíntota horizontal.
Si calculamos
, esto quiere decir que la asíntota horizontal es y=2.
Para ver la asíntota vertical buscamos los valores que anulan el denominador: x=0. Calculamos. Por lo tanto, tiene una asíntota vertical en x=0.
No tiene asíntotas oblicuas.
Horizontal
Correcto
Incorrecto!
Vertical
Correcto
Incorrecto!
Oblicua
Correcto
Incorrecto!
Ninguna
Correcto
Incorrecto!
Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, tiene
una asíntota horizontal, pues . Esto quiere decir que la asíntota horizontal es y=0.
Para ver la asíntota vertical buscamos los valores que anulan el
denominador: x2+1=0. Como no tiene solución, no tiene asíntotas verticales.
No tiene asíntotas oblicuas.
Horizontal
Correcto
Incorrecto!
Vertical
Correcto
Incorrecto!
Oblicua
Correcto
Incorrecto!
Ninguna
Correcto
Incorrecto!
No tiene asíntotas horizontales.
Para estudiar las verticales estudiamos cuando se anula el denominador: x+1=0. La solución es x=-1. Estudiamos los límites laterales a ver si tienden a infinito.
. Esto quiere decir que la función tiene una asíntota vertical en x=-1.
Asíntotas oblicuas. Como el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador, nuestra función tiene una asíntota oblicua. Como sabemos que la función es racional tiene la misma asíntota oblicua por los dos la dos. Vamos a calcularla en +∞.
Por lo tanto, la asíntota oblicua que buscamos es y=x-1
se aproxima a su asíntota oblicua, que en este caso es y=x-1.
Importante
Ejemplo o ejercicio resuelto
AV - Pregunta de Selección Múltiple
, esto quiere decir que la asíntota horizontal es y=2.
. Por lo tanto, tiene una asíntota vertical en x=0.
. Esto quiere decir que la asíntota horizontal es y=0.
. Esto quiere decir que la función tiene una asíntota vertical en x=-1.
