1. Llegar sin llegar
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Vamos a ponernos en situación. El viaje a Córdoba que le va a regalar a Juan hay que pagarlo, ¿verdad? Y está claro, que el precio se repartirá entre el número de personas que participen en el regalo, así cuantos más entren a menos cabrán. ¿Qué ocurriría si en el regalo entraran todos los trabajadores de la empresa? ¿Y si se repartiera entre toda la ciudadanía de Córdoba?
Imagínate esta otra situación. Una de las asociaciones que montan un patio, han encargado 30000 florecillas para hacer una alfombra rectangular y como más o menos cada una de ellas ocupa 1 cm2, debe ocupar una superficie de 30000 cm2. Es evidente que cuanto más anchura le demos, menos larga será, y viceversa, pero, ¿qué ocurriría si sólo le damos un centímetro de ancho? ¿Y si le damos medio centímetro? ¿ Y si el ancho es 0,1 cm?
No te preocupes que ni vamos a buscar a toda la población de Córdoba ni vamos a cortar las flores para que tenga esa anchura tan minúscula. Estas cuestiones vamos a resolverlas con los límites. Con los límites podemos observar y determinar la tendencia de una función en un determinado punto o cuando la variable independiente toma valores muy grandes y ver el comportamiento que va teniendo la función en esa situación.
Curiosidad
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Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII en trabajos de Newton y Fermat, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta. Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistemática. La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.
La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debido a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.
A pesar de esto, el trabajo más importante en el estudio del límite y de sus aplicaciones es el realizado por Euler. Uno de sus textos más apreciados es la Introductio in Analysim Infinitorum (1748) y está considerado como la piedra angular del Análisis matemático. Si bien algunas de sus demostraciones matemáticas no son aceptables bajo los estándares modernos de rigor matemático, es cierto que sus ideas supusieron grandes avances en ese campo.