2. Algo más rápido, please!

Hemos visto dos formas distintas de calcular límites. A partir de la representación gráfica de la función o usando la idea intuitiva de límite. La primera, tiene el problema de que no siempre conocemos la gráfica de la función, y la segunda, que calcular un límite de esta forma es un poco pesado y engorroso, así que, vamos a buscar artimañas que sean más eficaces y sobre todo que nos hagan el cálculo más rápido.
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Camareros de una caseta de feria
Imagen en blogdenoelia bajo licencia Creative Commons

Nacho el chico, que lleva la gestión económica de la caseta TRANS VELOX en la feria de Córdoba, tiene controlado el gasto que ha de hacer la caseta en pagar a los camareros. Cada camarero o camarera gana 20 euros por cada hora de trabajo más un fijo de 50 euros si trabaja al menos 8 horas.

Si llamamos x al tiempo trabajado (en horas), la función que nos da el dinero a pagar a cada camarero dependiendo del tiempo trabajado es:

¿Cuánto gana si trabaja 4 horas?¿Y si trabaja 10? ¿Y con 8 horas?

Estudia también los límites para x=4, x=10 y x=8.

 


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Regla I

Para calcular el límite de una función, cuando x tiende a x0, basta con sustituir x0 en la función y si nos da un número, es decir, se pueden hacer todas las operaciones, ese es el resultado del límite.

Regla II

En una función a trozos, para calcular el límite en el punto donde se corta la función, hay que hacer los límites laterales y para ello sustituir en los trozos adecuados.


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Dibujo de un oso camarero sirviendo una mesa
Imagen de Torley bajo licencia Creative Commons

¿Te imaginas un supercamarero que trabaje horas y horas sin parar? ¿Cuánto ganaría?

La respuesta creo que es evidente, ¿no? Un pastón. Claro, a más trabajo más gana. Pero vamos a ver que efectivamente es así. Esta situación tan irónica respondería a calcular el límite cuando x tiende a +∞, pues estamos dándole valores grandes a x, al tiempo trabajado.

Si hacemos lo mismo que en el ejercicio anterior, habría que coger una secuencia de números cada vez mayores, por ejemplo 100, 1.000 y 10.000. Vamos a ver lo que ocurre.

 

 



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Regla III

Las funciones polinómicas, cuando x tiende a +∞ o -∞, se comportan del mismo modo que su término de mayor grado:

 

 


Icono de IDevice de pregunta AV - Pregunta de Elección Múltiple

Elige la opción correcta en los límites que aparecen a continuación.

 

1)

  
-11
-7
5

2)
  
2
4
0

3)
  
0
-8
4

4)
  
+∞
-∞
No existe

5)
  
+∞
-∞
0

Icono IDevice Para saber más

Aparte de las polinómicas, en la Ciencias Sociales, muchas cuestiones responden a funciones exponenciales y logarítmicas, así que no está de más que conozcas el comportamiento de estas funciones.


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