22. Fotografía en ISFTIC bajo licencia Creative Commons
23. Fuente propia
En la fotografía que aparece a la izquierda vemos la pirámide de
Kukulkan (Chichén Itzá, México). Pensemos en un turista de los que
visitan la zona arqueológica. A una determinada hora, en un día
soleado, tanto la pirámide como el turista tendrán una sombra, pero
¿qué sombra será más larga?. Claro, si la pirámide es más alta
proyectará más sombra. Además, si la altura de la pirámide es de unos
30 metros y el turista fuese un señor muy alto, con una estatura de 2
metros, cabe esperar que la longitud de la sombra de la pirámide sea
..... veces la del turista.
Seguro que has pensado que mi omisión
en los puntos suspensivos es 15. Bien, aquí nos surge una primera
definición.
Actividad
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una cantidad de una de ellas por un número, la cantidad correspondiente de la otra queda multiplicada o dividida por dicho número. Es decir, cuando el cociente de dos cantidades que se corresponden (de una y otra magnitud) es constante.
Caso de estudio
En la foto de la derecha vemos una imagen del paseo marítimo de Vera
(Almería). Observamos como a la derecha del paseo hay colocadas
farolas, a distancias constantes. En un kilómetro de paseo, si las
farolas estuviesen colocadas cada 10 metros (en el punto de partida no
hay), ¿cuántas se habrían colocado? Seguro, que sin mayor dificultad, has pensado que 100 (cierto, 10 · 100 = 1000); y si te hubiese
planteado que las farolas están cada 25 metros, tu respuesta sería ...
¡Muy bien!, tendríamos 40 farolas (25 · 40 = 1000). Y así, con tu
razonamiento te has acercado al segundo concepto.
Actividad
Dos magnitudes
son inversamente proporcionales si al multiplicar o dividir una cantidad de una de las magnitudes por un número, la cantidad correspondiente de la otra
queda dividida o multiplicada por dicho número, respectivamente. Es
decir, el producto de dos cantidades que se correspondan (de ambas magnitudes) se mantiene
constante.
Pregunta Verdadero-Falso
Indica, en las siguientes situaciones, si la afirmación que se hace sobre las magnitudes que aparecen relacionadas es verdadera o falsa.
1. Un coche que se desplaza por un circuito a velocidad constante. El espacio recorrido y el tiempo son directamente proporcionales.
Verdadero
Falso
Sugerencia
¿A más más?, o ¿a más menos?, ¿la relación entre las magnitudes se mantiene?
Correcto!
Incorrecto!
El espacio recorrido por un móvil es igual a su velocidad por el tiempo que mantenga ese movimiento. Por tanto, más tiempo circulando implica más espacio recorrido. Además, si el tiempo se multiplica o se divide por un número el espacio queda multiplicado o dividido por dicho número.
Hacemos la siguiente prueba: supongamos la velocidad de 80 km/h, y el tiempo de 4 horas (despreciamos los tiempos perdidos en los cambios de conductor, si lo hubiera). ¿Qué espacio recorrería? Ahora, dividimos y multiplicamos el tiempo por varios valores y observamos qué ocurre con el valor obtenido para el espacio. Efectivamente, son magnitudes directamente proporcionales.
2. El coche circulando de nuevo por el circuito, pero ahora se trata de hacer 100 km de recorrido. La velocidad y el tiempo son directamente proporcionales.
Verdadero
Falso
Sugerencia
¿A más más?, o ¿a más menos?, ¿la relación entre las magnitudes se mantiene?
Incorrecto!
Correcto!
Pensemos: si el coche va más rápido tardará menos tiempo en hacer el recorrido fijo de 100 km. Por otro lado, sean como sean, el producto de la velocidad por el tiempo debe darnos el espacio, que es constante, 100 km. Por tanto, se trata de magnitudes inversamente proporcionales.
3. Si nos vamos de viaje a los Estados Unidos deberemos cambiar euros por dólares. La cantidad de euros cambiados y los dólares recibidos (comisiones y tasas aparte) no guardan ninguna relación, ya que depende de la cotización diaria.
Verdadero
Falso
Sugerencia
¿A más más?, o ¿a más menos?, ¿la relación entre las magnitudes se mantiene?
Incorrecto!
Correcto!
En el momento de hacer el cambio, si tenemos más euros recibiremos más dólares, de modo que si la otra persona cambiase el doble de euros en ese momento recibiría el doble de dólares. Por tanto, sí son magnitudes directamente proporcionales.
4. Cada mes pasamos por la gasolinera con nuestro coche más de una vez. Si tenemos la costumbre de pedir gasolina por un importe fijo de dinero, pongamos 30 €. El precio y la cantidad de gasolina repostada por nuestro dinero son magnitudes inversamente proporcionales.
Verdadero
Falso
Sugerencia
¿A más más?, o ¿a más menos?, ¿la relación entre las magnitudes se mantiene?
Correcto!
Incorrecto!
Bien, es verdadero. En efecto, si un día observamos que el precio de la gasolina es superior al de la última vez que repostamos, lógicamente esperamos que nos pongan menos cantidad de gasolina. Y está claro, el producto del precio por los litros siempre serán los 30 €.
5. El peso de los niños desde que nacen va aumentando. El peso y la edad de una persona son magnitudes directamente proporcionales.
Verdadero
Falso
Sugerencia
¿A más más?, o ¿a más menos?, ¿la relación entre las magnitudes se mantiene?
Incorrecto!
Correcto!
Es falso. Un niño de un mes al siguiente puede aumentar su peso en 500 g, pero en el siguiente control mensual puede ocurrir que el aumento haya sido de lo mismo, de más o incluso haber perdido peso. Por tanto, no hay ninguna relación de proporcionalidad.
Caso de estudio
Actividad
Pregunta Verdadero-Falso