1.3. Obteniendo galones como el capitán Gauss

El método de Gauss para calcular el rango de la matriz consiste en transformar, mediante determinadas operaciones, la matriz dada en otra que sea triangular superior. Así intentaremos que el elemento a₁₁ sea distinto de cero, pero todos los de la primera columna que están por debajo sean ceros; el elemento a₂₂ también tiene que ser distinto de cero y nulos todos los situados debajo en la misma columna; el elemento a₃₃ tiene que ser distinto de cero pero todos los elementos de la tercera columna situados por debajo tiene que ser ceros; y así sucesivamente. Durante el proceso se eliminarán las filas o columnas con todos sus elementos nulos. El rango de la matriz será el número de filas con algún elemento distinto de cero.

Las operaciones que se pueden realizar en una matriz sin que varíe su rango son:

a) Permutar dos filas o dos columnas.

b) Multiplicar o dividir todos los elementos de una fila o columna por un número real distinto de cero.

c) Sumarle a una fila (o columna) otra paralela a ella.

d) Sumarle a una fila (o columna) otra paralela a ella multiplicada por un número.

e) Suprimir las filas o columnas cuyos elementos sean todos nulos.

f) Suprimir una fila (o columna) proporcional a otra.

En el caso más sencillo de que la matriz sólo tenga dos filas (o dos columnas), será suficiente comprobar si dichas filas (o columnas) son proporcionales. Si son proporcionales el rango es 1 y si no lo son el rango es 2.

En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo aplicamos el método de Gauss para calcular el rango de una matriz:

Ejemplo o ejercicio resuelto

Carga de camiones. Imagen obtenida del banco de imágenes del ITE.

Una empresa nacional de transporte de mercancías envía camiones desde Madrid a distintos puntos de la geografía española a lo largo de la semana. Nos hemos fijado en varias de esas localidades: Sevilla, Valladolid, Barcelona, Bilbao y Badajoz y hemos recogido en una tabla el número de camiones que envía a cada una de ellas durante la semana, obteniendo la siguiente tabla:

Como podemos observar, la matriz que nos resulta es de orden 5x6, por lo que vamos a calcular el rango de dicha matriz pero esta vez utilizando el método de Gauss:

Una vez que has visto en el ejercicio anterior la resolución mediante Gauss, practica un poco en los siguientes

Selecciona el tipo de números con el que quieres trabajar y pulsa sobre el botón "Generar matriz". Cada vez que pulses sobre este botón aparecerá una matriz nueva de la que tendrás que calcular el rango utilizando el método de Gauss.

Ejercicio tomado de la página de Álgebra matricial, de Cristina Díaz y Luis Vaamonde.

Para saber más

Investigando. Imagen obtenida del banco de imágenes del ITE.

Para seguir profundizando, en el siguiente enlace encontrarás más ejercicios con los que seguir practicando el cálculo del rango de una matriz. selecciona el tipo de número que deseas utilizar, las dimensiones de la matriz y, cada vez que pulses en el botón "Generar matriz" aparecerá una matriz nueva. Cuando hayas calculado el rango, podrás comprobar una forma de hacerlo por el método de Gauss. Ánimo y prueba con matrices de distintas dimensiones.

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