Antes de empezar con el concepto de determinante si debemos comentarte algo. El cálculo del determinante de una matriz es una herramienta que nos va a permitir resolver problemas más o menos cotidianos, pero es solamente eso, una herramienta.

 

Suponemos que recuerdas, por ejemplo, el método de sustitución para resolver un sistema de ecuaciones. Pasa algo parecido. Es decir, mientras que en muchas situaciones de la vida cotidiana te puedes encontrar cuadros de números, como viste en el tema anterior, nunca te vas a encontrar un determinante por la calle. Quizás por eso este tema te parezca un poco más abstracto, pero como verás en los temas que siguen, sin este concepto hay muchos problemas que sería muy complicado resolver.

La cuestión que nos preocupa ahora es, ¿cómo calculamos ese número que hemos llamado determinante? Veamos los casos más simples pero antes de empezar recuerda siempre que un determinante sólo tiene sentido si la matriz es cuadrada.

El determinante de una matriz cuadrada de orden dos es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos los de la diagonal secundaria. Es decir:

 

Así el determinante que hemos visto antes sería

Si te fijas en los subíndices que aparecen en la definición del determinante anterior puedes observar que en cada producto hay un elemento de cada fila (observa el subíndice primero de cada término en ambos productos) y un término de cada columna (fíjate ahora en los segundos subíndices de cada término a). Esta característica se va a cumplir en todos los determinantes.

Si ahora subimos un peldaño de la escalera, vamos a ver como se calcula el determinante de una matriz de orden 3. La regla que da ese cálculo recibe el nombre de Regla de Sarrus. El desarrollo que da lugar al determinante está compuesto de seis términos, tres positivos y tres negativos. Los positivos corresponden al producto de los elementos de la diagonal principal y las paralelas a ella completando con el valor extremo y los negativos lo mismo pero respecto a la diagonal secundaria.

En la siguiente ventana tienes un archivo de Flash en el que puedes ver dos métodos de recordar cómo se desarrolla. El más utilizado es el segundo, aunque en el primero viene una regla que quizás te sea más clara, pero recuerda que lo que ves en el primer método es una ayuda para recordar el desarrollo, es decir, no tiene ningún sentido un determinante con cinco columnas y tres filas.

Montaje tomado del Banco de Imágenes y Sonidos del Instituto de Tecnologías Ecucativas (antiguo ISFTIC).

En la siguiente escena de Descartes puedes ver ejemplos resueltos de determinantes de orden 2 y 3. Intenta tú primero aplicar los cálculos y después puedes comprobar con la escena si tienes bien los cálculos.

Archivo creado por Alfredo Pena Iglesias, con Descartes, bajo licencia Creative Commons (CC) BY-NC-SA