2.2. Trabajando con la estándar.
Antes de comenzar este apartado, vamos a fijar algunos criterios de notación que son interesantes y que, si no los tenemos claros, pueden complicarnos la vida.
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Notación que vamos a usar con las distribuciones normales.
Esta notación, a simple vista, parece no tener mucha importancia pero más adelante comprobarás que sí la tiene. |
En el apartado anterior calculamos probabilidades, con ayuda de un applet de Geogebra. Y nos preguntábamos: ¿qué ocurre si no tenemos applet? Es decir, ¿cómo calculo probabilidades en distribuciones normales si no puedo usar integrales y no tengo ordenador?
Verás, durante mucho tiempo, han habido una serie de señores y señoras matemático/as que han realizado un trabajo estupendo para que, después, lo aprovechemos los demás. Y ahora, precisamente ahora, vamos a necesitar utilizar y aprovechar uno de ellos. Es uno de esos trabajos artesanales que se hacían con tanto esfuerzo cuando no habían ordenadores.
Ese trabajo es una tabla, donde están calculadas las áreas para distintos valores, de x, en la distribución normal estándar N(0,1).
Ejemplo o ejercicio resuelto
Cálculo de probabilidades en distribución normal estándar, N(0,1), mediante tabla.
Antes de comenzar, debes descargar la tabla con la que vamos a trabajar: Tabla de la distribución Normal N(0,1).
Con esta tabla podemos calcular, de momento, sólo probabilidades del tipo P(Z≤k), donde Z representa la distribución normal estándar, N(0,1), y "k" el valor extremo. Es decir, se calcula el área de la zona dibujada en azul.
Vamos a calcular la probabilidad de que un valor tomado al azar, en una variable N(0,1), sea menor que 0,98.
Para calcularla, hemos de seguir los siguientes pasos:
1) Localizar parte entera y primer decimal: Buscar la primera columna, donde indica z0, la fila en la que aparece el valor: 0,9.
2) Localizar el segundo valor decimal: Una vez encontrada esta fila, nos desplazamos por ella en horizontal, hasta encontrar la columna en cuyo título aparece: 0,08.
3) Cruzar ambas búsquedas: El lugar donde se cruzan esas dos búsquedas: 0,9 + 0,08 = 0,98 nos indica el valor de la probabilidad buscada, que en este caso, vale, 0,8365.
Luego P(Z ≤ 0,98) = 0,8365.
En el siguiente vídeo se explica de manera más detallada, y usando la misma tabla que acabas de descargar, mediante la realización de varios ejemplos.
AV - Actividad de Espacios en Blanco
Apóyate y utiliza las instrucciones del videotutorial para calcular las siguientes probabilidades sobre la distribución normal estándar a partir de la tabla que podrás descargar pulsando aquí.
Nota: Para escribir los resultados con decimales, usa la "," no el "."
P(Z ≤ 0,79) =
P(Z ≤ 4,5) =
P(Z ≤ 3) =
P(Z < 0,02) =
P(Z ≤ 1,77) =
Con lo visto anteriormente no podemos resolver todos nuestros problemas. Sólo podemos resolver aquellos problemas en los que necesitemos calcular la probabilidad de que Z sea menor (o menor o igual) que un número positivo.
¿Cómo averiguamos, por ejemplo, la probabilidad de que Z sea mayor que 1,7 o que sea menor que -0,76, o que esté entre -1,2 y 2,43?
En el siguiente Importante, se muestran los distintos casos que se pueden presentar a la hora de calcular probabilidades en una distribución Normal y cómo se resuelven cada uno de ellos.
Importante
Si "k" es un número positivo, "a" y "b" números cualesquiera y Z una distribución N(0,1) se pueden dar los siguientes casos:
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| Estrella en pavimento |
Caso 1: P(Z < k) [Probabilidad de que Z sea menor que un número positivo] Buscamos su valor en la tabla de probabilidades de una distribución N(0,1).
Caso 2: P(Z > k) = 1 - P( Z < k)
[Probabilidad de que Z sea mayor que un número positivo]
Caso 3: P(Z < -k) = 1 - P( Z < k)
[Probabilidad que Z sea menor que un número negativo]
Caso 4: P(Z > -k) = P ( Z < k )
[Probabilidad que Z sea mayor que un número negativo]
Caso 5: P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a) [Probabilidad (en intervalo) de que Z sea mayor que un número a y menor que otro número b]
Observa que, en todos ellos, recurrimos al Caso 1 y, finalmente, acabamos consultando la tabla.
Ahora, intenta poner a prueba lo que has aprendido.
Podrías utilizar los applets de Geogebra mostrados anteriormente para resolverlo pero, en esta ocasión, convendría que lo hicieses a mano, para comprobar que lo has entendido correctamente. Posteriormente, puedes practicar cuanto quieras, planteando tus propios ejercicios y ayudándote de los applets para resolverlos y/o comprobar que están bien.
AV - Actividad de Espacios en Blanco
Apóyate en las propiedades vistas en el último Importante y en la tabla de probabilidades de la distribución Normal N(0,1), para calcular las probabilidades pedidas a continuación.
Nota: Para escribir los resultados con decimales, usa la "," no el "."
P(Z < 0,98) =
P(Z ≥ 0,98) =
P(Z < -0,98) =
P(Z > -0,98) =
P(-0,98 Z < 0,98) =