1.2 Posición relativa de puntos

Ejemplo o ejercicio resuelto

Veamos una propiedad que podemos demostrar mediante vectores. Una propiedad para obtener un dibujo perfecto a través de un dibujo cualquiera. La propiedad consiste en que si tenemos un cuadrilátero cualquiera ABCD como el que aparece en la imagen, la figura que resulta de unir los puntos medios es un paralelogramo EFGH, es decir, que sus lados son iguales dos a dos y paralelos. Para demostrarlo te proporcionamos la ventana interactiva que observas más abajo, en la que se enuncia primero el problema en inglés y posteriormente aparece una ventanas interactiva en la que puedes mover los vértices A, B, C y D. Posteriormente, pulsando sobre el botón "Next" observarás en 17 pasos que se cumple el enunciado que te hemos propuesto. Observa que se utilizan las propiedades de los vectores.

Importante

Si tenemos dos puntos y nos proponemos calcular el punto medio entre y . Para ello vamos a hacer lo siguiente:

Calculamos el vector . Si al punto le sumamos el vector obtenemos el punto , por lo que para calcular el punto medio vamos a sumarle al punto la mitad del vector .

De esta forma:

Por tanto, el punto medio será

PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS:

En la escena de la derecha aparece un punto P=(p1,p2,p3) y otro punto Q=(q1,q2,q3). Aparece el vector que es el vector v=PQ y según lo que hemos visto anteriormente, representamos el punto M, punto medio entre P y Q.

Te proponemos que en los siguientes apartados calcules el punto M, punto medio entre el punto P y el punto Q.

1.- P=(3,2,2) y Q=(1,4,6)

2.- P=(-1,4,-2) y Q=(1,4,6)

3.- P=(5,-3,-1) y Q=(3,5,5)

4.- P=(4,-1,7) y Q=(-2,5,3)

Instrucciones:

Arrastre el ratón para rotar la figura.
Para mover el punto P , arrastre el punto azul.
Para mover el punto Q , arrastre el punto azul.
Zoom = Shift + arrastre vertical

AV - Actividad de Espacios en Blanco

El punto Q obtenido en cada uno de los apartados anteriores es:

1.- M=

2.- M=

3.- M=

4.- M=

PUNTO SIMÉTRICO:

En la escena de la derecha aparece un punto P=(p1,p2,p3) y otro punto O=(o1,o2,o3). Aparece el vector v=PO y representamos el punto Q, que es el punto simétrico de P respecto a O. Gráficamente es muy fácil de obtener, basta con sumarle al punto P el doble del vector v

Te proponemos que en los siguientes apartados calcules el punto simétrico de P respecto al punto O.

1.- P=(3,2,2) y O=(1,4,6)

2.- P=(-1,4,-2) y O=(1,4,6)

3.- P=(5,-3,-1) y O=(3,5,5)

4.- P=(4,-1,7) y O=(-2,5,3)

Instrucciones:

Arrastre el ratón para rotar la figura.
Para mover el punto P , arrastre el punto azul.
Para mover el punto O , arrastre el punto azul.
Zoom = Shift + arrastre vertical

AV - Actividad de Espacios en Blanco

El resultado de cada uno de los apartados anteriores es:

1.- Q=

2.- Q=

3.- Q=

4.- Q=

Entre las propiedades geométricas que podemos comprobar utilizando las propiedades de los vectores encontramos la de conocer si tres puntos del espacio están alineados o no. Para ello nos basamos en que dados tres puntos A, B y C, si estuvieran alineados, los vectores AB y AC serían linealmente dependientes

Instrucciones:

Arrastra el ratón para rotar la figura.
Puedes también arrastrar los tres puntos además de las coordenadas de los tres puntos.
Shift + arrastre vertical = zoom