4. Las torres de Hanoi

Benarés
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El clásico problema de las torres de Hanoi fue dado a conocer en 1883 por el matemático francés Édouard Lucas. Una versión poética de este problema dada por M. De Parville en "La Nature" en 1884 es la siguiente:

"En el gran templo de Benares, bajo la cúpula que marca el centro del universo, hay un plato de bronce con tres agujas de diamante, tan finas como el cuerpo de una abeja. En una de esas agujas, la de la creación, Dios colocó sesenta y cuatro discos de oro puro, el mayor de ellos descansaba en el plato de bronce y los demás haciéndose cada vez menores hasta llegar al más pequeño encima de todos. Esta es la torre de Bramah. Día y noche sin parar, los monjes mueven los discos de una aguja de diamante a otra, de acuerdo con las sagradas leyes de Bramah, las cuales requieren que el monje tenga que mover un solo disco cada vez de una de las agujas a otra aguja de forma que no lo deposite sobre un disco menor. Cuando los sesenta y cuatro discos sean trasladados de la aguja en la que Dios los deposito en el momento de la creación a otra, la torre, el templo y los monjes de Bramah se convertirán en polvo, y con un trueno el mundo desaparecerá".
 
El problema de las torres de Hanoi es como la torre de Bramah, con menos discos, normalmente, ocho.
El problema consiste por tanto en trasladar la torre a otra varilla, moviendo un disco cada vez, de manera que en ningún momento un disco descanse sobre otro de menor tamaño. Inicialmente sólo es posible mover el disco de menor tamaño. El segundo movimiento también está forzado. A partir del tercer movimiento, la elección ya no es única.

¿Cuántos movimientos son necesarios para mover n discos?

Te damos una pista. El número de movimientos es una función exponencial.

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Juego

 

En la siguiente página puedes practicar con las torres de Hanoi.


En esta presentación puedes ver la solución a la cuestión que te planteábamos al principio.

 

 

Torres de Hanoi
La gráfica de la función exponencial , sería:
Exponencial

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Llamamos función exponencial a la que tiene por expresión analítica y=ax, siendo a un número real positivo distinto de 1.

ExponencialSon funciones continuas cuyo dominio es el conjunto de los números reales. Son funciones positivas que pasan por los puntos (0,1) y (1,a).

Si a>1, son funciones crecientes en todo su dominio.

Para valores de x muy grandes pero negativos, f(x) toma valores próximos a cero.

Para valores de x muy grandes, f(x) toma valores también muy grandes.

Cuanto mayor sea el valor de a, más rápido crecen estas funciones.

Si 0<a<1, son funciones decrecientes en todo su dominio.

Para valores de x muy grandes pero negativos, f(x) toma valores muy grandes.

Para valores de x muy grandes, f(x) toma valores próximos a cero.

Cuanto menor sea el valor de a, más rápido decrecen estas funciones.

En la siguiente escena de Descartes de José Mª Vázquez de la Torre, puedes practicar modificando los valores de la base y del exponente.
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.
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En la siguiente animación del Banco de imágenes y sonidos del ITE, puedes practicar representando gráficas de funciones exponenciales.

 

 

 


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En un triángulo equilátero de área A0=100 cm2 se van inscribiendo nuevos triángulos como indica la figura:

Triángulo

¿A partir de qué triángulo inscrito tendrá un área inferior a 10 cm2?

Representa en una gráfica la relación n.º del triángulo con su área en cm2.

¿A qué tipo de función corresponde la gráfica?

¿Cuál es su expresión analítica?

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