3. Lanzamiento en parábola

Si te gusta el fútbol y has disfrutado con el Mundial seguro que has visto más de un golazo como este marcado a 42 metros con una parábola increíble, en el último segundo de la final de la prórroga en la Recopa de 1995, marcado por Nayim, jugador del Zaragoza al Arsenal inglés.

Vídeo subido a YouTube por dani2001es.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Imagen de Alessandro Zilio bajo licencia Creative Commons

Antonio, uno de los empleados de TRANS VELOX en Córdoba, tiene una pequeña discoteca en el centro de la ciudad.

Un día que estuvo en la caseta, invitó al gerente a que se llegara por la noche.

La discoteca abre sus puertas a las nueve de la noche, sin ningún cliente, y las cierra cuando se han marchado todos.

Llamamos x al número de horas que está abierta la discoteca e y al número de clientes que hay en cada momento. Suponemos que la expresión analítica que relaciona al número de clientes con el número de horas que lleva abierta la discoteca es:

y = 60x - 10x².

¿Cuántos clientes tiene a las 10 de la noche? ¿Y a las 12?
¿A qué horas hay en la discoteca 80 personas?
Dibuja la gráfica correspondiente a la expresión anterior.
Determina el número máximo de clientes que van un sábado por la noche a la discoteca y a qué hora ocurre.
Un sábado que estuvo Ignacio había menos de 80 personas y más de 50. ¿A qué hora estuvo?
¿A qué hora cierra Antonio?

Actividad

Una función cuadrática es aquella cuya expresión analítica general es de la forma:

y=ax² + bx + c, con a≠0.

Su gráfica es una parábola de eje vertical.

El coeficiente de x² (a), informa de la abertura de la parábola respecto al eje de ordenadas OY.

Si a>0, la parábola está abierta hacia arriba.

Si a<0 la parábola está abierta hacia abajo.

Gráfica

Vértice y puntos de corte con los ejes.

El vértice de cualquier parábola de la forma y=ax² +bx + c es el punto V = (q,p), siendo:

q = -b/2a y p = f(q).O sea, para la primera coordenada aplicamos la fórmula -b/2a y para la segunda, sustituimos en valor obtenido en la función y calculamos la imagen.

Los puntos de corte con el eje de abscisas son (x₁,0) y (x₂ ,0), siendo x₁ y x₂ las soluciones de la ecuación de segundo grado ax² +bx + c = 0.

Al aplicar la fórmula, si recuerdas,dentro de la raíz cuadrada aparecía b² -4ac, por tanto, el número de soluciones y el número de puntos de corte depende del signo de esta operación.


Si *b² - 4ac >0* la parábola corta en dos puntos al eje OX	Si *b² - 4ac =0* la parábola corta en un punto al eje OX	Si *b² - 4ac <0* la parábola no corta al eje OX

Una parábola se puede expresar en función de los puntos de corte con el eje de abscisas de la forma:

y = a·(x - x₁ )·(x - x₂).

El punto de corte con el eje de ordenadas se obtiene haciendo x=0, es decir es el punto (0,c).

(0,c)

AV - Actividad de Espacios en Blanco

Completa los espacios en blanco indicando qué número de gráfica corresponde a cada expresión analítica.


Gráfica 1	Gráfica 2

Gráfica 3	Gráfica 4

a) La gráfica número JXUwMDZh corresponde a la función

b) La gráfica número JXUwMDY5 corresponde a la función

c) La gráfica número JXUwMDZj corresponde a la función

d) La gráfica número JXUwMDZi corresponde a la función

AV - Reflexión

Explica de forma razonada cómo has resuelto la actividad anterior.

Las gráficas 1 y 3 corresponden a parábolas abiertas hacia arriba, es decir, el coeficiente de la x² en sus expresiones analíticas es positivo.

La gráfica 1 corta al eje de ordenadas en el punto (0,1), tiene el vértice en el punto (0,1), no corta al eje OX, es simétrica respecto del eje OY, y al desplazarnos una unidad desde el vértice hacia la derecha o hacia la izquierda subimos 2. Resulta de desplazar la parábola y=2x² verticalmente una unidad hacia arriba. Corresponde a la función b) y=2x² +1.

La gráfica 3 corta al eje de ordenadas en el punto (0,-2) y al eje OX en los puntos (-1,0) y (2,0), corresponde a una parábola del tipo y=a(x-x₁)·(x-x₂) donde x₁ y x₂ son los valores de la x en los puntos de corte con el eje de abscisas. Es decir es de la forma y=a(x+1)·(x-2), como pasa por el punto (0,-2) tenemos que -2=a(0+1)·(0-2), por tanto -2=a·(-2), luego a=1. Corresponde a la función

d) y= (x+1)(x-2) = x² -x -2.

Las gráficas 2 y 4 corresponden a parábolas abiertas hacia abajo, es decir el coeficiente de la x² en sus expresiones analíticas es negativo.

La gráfica 2, corta al eje de ordenadas en el punto (0,-2), tiene el vértice en el punto (2,0), corta al eje OX, en el punto (2,0), es simétrica respecto de la recta x= 2, y pasa por el punto (4,-2). Como conocemos tres puntos de la parábola resolvemos el sistema para y=ax²+bx+c:

Sistema . De la primera igualdad obtenemos que c= -2. Sustituimos el valor de c en las otras dos igualdades y tenemos que Sistema , luego a=, b=2 y c= -2.

Corresponde a la función a) y = x²+2x-2 = (x²-4x+4) = (x-2)².

La gráfica 4 corta al eje de ordenadas en el punto (0,-3) y tiene el vértice en el punto (-2,1). Como conocemos el vértice y un punto es una parábola de la forma y=a(x-x_v)²+y_v siendo x_v e y_v las coordenadas del vértice. Es decir, es de la forma y=a(x+2)²+1, como pasa por el punto (0,-3) tenemos que -3=a(0+2)²+1 → -3=4a·+1 → a= -1. Corresponde a la función c) y= -(x+2)²+1 = -x² -4x -3.

Objetivos

En las siguientes animaciones del Banco de imágenes y sonidos del ITE, puedes practicar con funciones cuadráticas.

Pincha en la flecha de la animación que hay debajo.

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