4. Y si perdemos el catálogo, ¿qué hacemos?
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| Imagen de Agent 1994 bajo licencia Creative Commons |
En el ejemplo que hicimos en el apartado anterior, multiplicábamos una matriz de precios por una matriz de pedidos y obteníamos la matriz de costos. ¿Te imaginas que al cabo del año queremos mirar algún precio pero el catálogo se ha perdido por entre los múltiples papeles de la oficina? ¿Podríamos saber algún precio si dispusiéramos de las facturas totales y de la cantidad pedida?
El problema que se plantea es encontrar la matriz A sabiendo B y C en el producto A·B = C, o sea, encontrar una de las dos matrices que se están multiplicando.
Si eso fueran números, está claro que se reduciría a hacer una división, por ejemplo, en 2·X = 6, está claro que x vale 3, pues 6:2 = 3, pero, ¿con matrices se puede hacer esto? ¿existe la división de matrices?
La respuesta es que no, que no se pueden dividir matrices, pero sí existe una operación que viene a ser equivalente, y ésta es el cálculo de la matriz inversa y multiplicar por ella.
Importante
La inversa de una matriz A, que representaremos por A-1, es otra matriz de la misma dimensión y que cumple que al multiplicarla por ella da la identidad del orden que le corresponda:
A·A-1 = I y A-1·A = I
Puesto que las dos matrices tienen la misma dimensión, para que el producto se pueda hacer, la matriz A tiene que ser cuadrada. Es decir, la inversa de una matriz sólo tiene sentido para matrices cuadradas.
Luego en nuestro ejemplo no se podría hacer.
Bueno, pues vamos a ver cómo se hace esto de la matriz inversa. ¿Recuerdas del curso pasado el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones con tres incógnitas? Básicamente había que hacer ceros por debajo de la diagonal multiplicando las filas por números y sumándolas.
Pues algo similar vamos a hacer aquí. Existen diversos métodos para calcular la matriz inversa, pero el que nosotros vamos a usar es el de Gauss-Jordan.
En la siguiente escena te mostramos paso a paso cómo se hace. Vamos a calcular sólo inversas de matrices 2x2 para no complicar mucho el asunto.
Applet Descartes de Alfredo Pena Iglesias bajo licencia Creative Commons.
Si no te ha quedado muy claro, con el siguiente vídeo seguro que sí:
AV - Reflexión
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| Imagen de El Matenavegante bajo licencia Creative Commons |
Te proponemos tres matrices para que practiques:
1) 
2) 
3) 
Para saber más
Si la matriz es de dimensión mayor, el procedimiento es igual, sólo que más largo.
En esta página puedes ver cómo se hace y si quieres en este vídeo también se explica cómo se calcula la inversa de una matriz cuadrada 3x3. Además, en la página que te proponemos puedes ver también cómo se hace una inversa por el método directo, esto es, poniendo incógnitas en los elementos y planteando un sistema de ecuaciones.
Y si quieres practicar, aquí tienes.
Ecuaciones con matrices.
En muchas situaciones es necesario plantear ecuaciones con matrices donde la incógnita será una matriz. Sin ir más lejos en el ejemplo con el que hemos introducido el apartado. El procedimiento es similar al de una ecuación de primer grado, despejar la incógnita. Ahora lo que ocurre que si algo pasa dividiendo al otro lado, en lugar de dividir se multiplica por la matriz inversa.
En este enlace te explican cómo se hace esto y además tienes algunos ejercicios por si quieres practicarlo.