3.3. Plaga de conejos

Arctic Hare.Imagen obtenida de la Fundación Wikipedia bajo licenciaCreative Commons.

La imagen que nos ha llegado de los conejos es siempre simpática y alegre. Desde el conejo que siempre llega tarde de Alicia en el Pais de las Maravillas, al conejo de Warner Bross, Bugs Bunny. Pero la realidad en muchas poblaciones es otra y se detectan plagas de conejos que eliminan cosechas completas. Si los conejos no tuvieran predadores ¿a qué cantidad llegarían?

Ya hemos visto varias situaciones donde se obtienen infinitos conejos, infinitas zanahorias, pero ... ¿son iguales todos los infinitos?

Sabemos que

y que

, pero ¿qué ocurriría con la función f(x) = x - ln(x)?

x	f(x)= x - ln(x)
1	1
10	7,7
100	95,4
1000	993,1
10000	9990.8
100000	99988,5

Veamos una tabla para comprobar a donde tiende la función

Es decir, nos encontramos que el primer infinito es "mayor" que el segundo, por lo tanto, el límite de la función será infinito.

Así mismo, podriamos trabajar con la función f(x) = ln(x) - x. En este caso, también tenemos que el coincidirá con . Pero ahora el primer infinito es de orden inferior al segundo, por lo que estariamos ante la siguiente situación

Al ser "mayor" el segundo infinito, tenemos que

Actividad

Ordenes de infinitos

Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.

Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior.

Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de x.

Las potencias de x son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas.

Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Indica el límite, cuando de las siguintes expresiones.

Ahora bien, podemos encontrarnos con funciones que no sean polinomios ó funciones radicales. En ocasiones, deberemos calcular límites donde aparezcan fracciones algebraicas, como en el caso siguiente:

Aqui nos encontramos con dos infinitos pero no sabemos cuál es mayor. Para determinar el límite de la función, debemos realizar las operaciones algebraicas correspondientes para poder determinar el límite. Veamos este caso

AV - Pregunta de Elección Múltiple

Calcula el límite de la siguiente función

	0
	-3

De forma análoga, nos encontramos con diferencias de radicales y polinomios, ambos del mismo grado o de dos radicales. En esos casos, para resolver el límite

, debemos multiplicar y dividir por

, para que desaparezcan las diferencias de raices. Veamos un ejemplo.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Calcula el siguiente límite

AV - Pregunta de Elección Múltiple

Determina el siguiente límite

	0


	1

A veces este método de multiplicar por el conjugado (la misma expresión con signo más) se puede utilizar aunque no se trate de un límite hacia el infinito. Veámoslo en el siguiente ejemplo.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Halla el valor del límite

Para saber más

Em el apartado 3, cuando hablamos de las indeterminaciones, incluimos una serie de indeterminaciones de tipo potencial y exponencial, en concreto nos referimos a las del tipo .

Esas indeterminaciones no vamos a tratarlas aquí pero si quieres conocer en qué consisten y como resolverlas puedes encontrar ejemplos resueltos en la siguiente dirección:

vitutor

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