3.1. Ecuaciones de primer grado
Empezaremos resolviendo ecuaciones con una incógnita que además no tenga exponente. Para ello veremos varios métodos, y empezaremos por el más intuitivo: la resolución por tanteo.
Cuando buscamos la solución de una ecuación, lo que queremos es un número que, al sustituirlo por x, verifique la igualdad. En eso consiste la resolución por tanteo, en darle valores a la incógnita x hasta que se igualen ambos términos.
Por ejemplo, supongamos que tenemos la ecuación: 3x - 1 = 11 + x. Vamos a sustituir x por algunos valores y veamos qué pasa.
| Valores |
3x - 1 = 11 + x | Observaciones |
| Si x = 2 |
3 · 2 - 1 = 11 + 2 5 = 13 |
No se igualan los miembros.
Necesito aumentar el valor del primero. |
| Si x = 4 |
3 · 4 - 1 = 11 + 4 11 = 15 |
Sigue sin igualar. |
| Si x = 6 |
3 · 6 - 1 = 11 + 6 17 = 17 |
La solución de la ecuación es x = 6 |
AV - Actividad de Espacios en Blanco
a) 
. La solución es x =
b) 
. La solución es x =
c) 
. Las soluciones son x = 3 y x =
d) 
. La solución es x =
Curiosidad
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Papiro de Rhind,
dominio público |
Aunque ya vimos que la notación que usamos hoy en día para escribir en lenguaje matemático es relativamente actual, las ecuaciones se han resuelto desde la civilización egipcia.
En el Papiro de Rhind (1650 a.C.) se resuelven problemas de un modo análogo al que se usa hoy en día. Uno de los problemas que aparece en este documento es "Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24"
Los babilonios, unos 1000 años después, se centraron básicamente en las ecuaciones de segundo grado; y entre los griegos, que en general se dedicaron a la geometría, debemos destacar la figura de Diofanto de Alejandría (200 a.C. - 284 a.C.). Diofanto publicó en su obra sus estudios acerca de ecuaciones que tienen soluciones racionales. Como curiosidad, has de saber que su epitafio era un problema que se resuelve con una ecuación de primer grado. Dice así:
"Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa, y cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."
Este problema se traduce en la siguiente ecuación, siendo x la edad de Diofanto: 
No siempre es fácil resolver las ecuaciones por tanteo, así que vamos a ver un método general para resolver cualquier ecuación de primer grado. En realidad es un método que cualquiera usaría para resolver un problema aunque no supiera lo que son las ecuaciones, como se ve en las siguientes viñetas.
Para ver este método usaremos la ecuación: 
- Paso 1: ELIMINAR PARÉNTESIS.
Para ello operamos como en cualquier expresión algebraica, multiplicando el factor que tenga fuera del paréntesis, o usando los productos notables. Ten cuidado con los signos negativos delante de un paréntesis. Cuando termines, simplifica los términos semejantes.
- Paso 2: QUITAR DENOMINADORES.
En el caso de que la ecuación tenga denominadores, reducimos a común denominador todos los términos de la ecuación. Una vez hecho, podemos eliminarlos. Lo veremos en el próximo ejemplo.
- Paso 3: AGRUPAR TÉRMINOS SEMEJANTES.
Vamos a pasar todos los términos con incógnita a un miembro, y los que no tengan al otro. Para ello debes tener en cuenta que si un término está sumando, pasa al otro miembro restando (y viceversa).
- Paso 4: DESPEJAR LA INCÓGNITA.
Dejamos la incógnita sola quitando su coeficiente, que al estar multiplicando, pasa al otro miembro dividiendo, pero sin cambiar de signo.
- Paso 5: COMPROBAR LA SOLUCIÓN.
Es bueno comprobar que la solución es correcta. Para ello tomamos la solución y sustituimos x en la primera ecuación por dicho valor.
Ejemplo o ejercicio resuelto
Intenta resolver la siguiente ecuación paso a paso. Si no sabes seguir, puedes consultar el resultado.
Paso 4: Despejar la incógnita
Este paso no es necesario, pues ya la tenemos despejada.
Paso 5: Comprobar la solución
Objetivos
En el siguiente enlace a la página de Álgebra con Papas, se plantean unas cuantas ecuaciones para que las resuelvas. Cuando termines, pulsa el botón PrimerSol02, para hacer algunas ecuaciones con denominadores.