2. Operando con letras

Ya sabes lo que son expresiones algebraicas y cómo darles valores. Veamos ahora cómo trabajar con ellas. Aprenderás a sumar, restar y multiplicar expresiones, además de tres fórmulas que te serán de bastante utilidad.

  • Suma y resta:

Fíjate en la siguiente expresión:
Está formada por siete sumandos llamados términos. En cada término (por ejemplo 2xy) podemos distinguir una parte numérica o coeficiente (en nuestro caso 2) y una parte literal (xy).

Los términos que tengan exactamente la misma parte literal son términos semejantes. Ésos serán los que podemos sumar y restar. En nuestro ejemplo encontramos cuatro tipos diferentes de términos semejantes. 

 

La suma y la resta consiste básicamente en "contar" los términos semejantes:

- Término x: 2x + 4x = 6x

- Término y: -y + 8y = 7y (Recuerda que -y equivale a -1y)

- Término y2: y2 - y2=0

- Término xy: 2xy

Resumiendo,

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La suma y resta de expresiones algebraicas se puede ver de una forma más visual. Vamos a representar los términos como figuras geométricas. Cada figura tiene la superficie que expresa dicho término.

El término x será un rectángulo de base 1 y altura x (y por tanto su superficie vale 1·x=x); el término y tendrá base 1 y altura y; para y2, la base y la altura miden y; el término xy tiene altura x, base y.

 

De esta forma, nuestra expresión quedaría:

 


 

Es evidente que no podemos sumar o restar términos que no son semejantes, aunque coincidan algunas variables como en el caso de x + xy.


  • Producto:

Para realizar el producto de un término por toda una expresión, multiplicaremos el primero por cada uno de los términos de la segunda expresión. Esto se resuelve multiplicando los coeficientes entre sí, y las variables entre sí. Por ejemplo,

 

 

 

Para multiplicar dos expresiones, haremos lo mismo pero multiplicando cada término de la primera expresión por cada uno de los términos de la segunda expresión. Luego sumaremos los términos semejantes para dejar el resultado lo más simplificado posible.

 


Puedes practicar las operaciones que hemos visto en la siguiente actividad interactiva de Fernando Villarubia. Cuando tengas los resultados, pincha en cada apartado para obtener la solución. Si tienes dudas, pincha en la solución para ver el desarrollo. Basta con que realices estos ejemplos y no es necesario que pinches en el botón Adelante.

 

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Recuerda que:

  • Si un coeficiente multiplica a una variable, no escribimos el signo de multiplicar: 2·x = 2x
  • Si un coeficiente o una variable multiplica a un paréntesis, tampoco es necesario ponerlo: -3·(x+1) = -3(x+1)
  • Al multiplicar variables de la misma base, sumamos los exponentes igual que hacemos con los números: (xy3)(x2y2)=x3y5

  • Productos notables:

Hay tres fórmulas que debes conocer. Facilitan las operaciones y te serán de ayuda más adelante.

 

  1. Cuadrado de la suma:
    Por ejemplo, si queremos calcular , tendremos que sustituir en la fórmula a = 2x y b = 1. Por tanto nos quedará
  2. Cuadrado de la diferencia:
    Ejemplo: . Observa que sólo queda negativo en la fórmula el término ab, no el b2.
  3. Suma por diferencia:
    Ejemplo:
     

 

En la siguiente escena de geogebra, realizada por Ricardo García Mesa , puedes ver la interpretación geométrica del cuadrado de la suma. Fíjate que está representando un cuadrado de base (a+b). La superficie de este cuadrado, (a+b)2, sería equivalente a sumar las superficies de los cuadriláteros interiores. Puedes cambiar los valores de a y b para comprobar que siempre se verifica la igualdad.

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Utiliza los productos notables para completar los huecos en blanco.
  1. (x+3)2=x2+ +9
  2. (2-x)2=4 +x2
  3. (x+y)2=x2+2xy+y
  4. (2x-2)(2x+2)= x2-
  5. (8x-6)2= x2-96x+36
  

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