Relaciones métricas entre las rectas notables de un triángulo.

En un triángulo dado ABC cualquiera, de lados a (BC), b AC) y c (AB), cuyo semiperímetro ( p= (a+b+c)/2) se esigna p, se le han trazado las circunferencias inscritas de centro I (incentro) y exinscritas de centros Ea, Eb y Ec exincentros) determinados por las intersecciones de las bisectrices de sus ángulos exteriores.
Dado que los segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un punto exterior son iguales, se verifican, entre los elementos del triángulo, las relaciones métricas siguientes:

Siendo:
a = BC, b = AC y c= AB, p = (a + b + c) /2, MN= b + c,PQ = a + c, RS = a + b, se deduce:

• QY = SZ = RTc = PTb = a.
• NX = RZ = MTa = Stc = b.
• MX = PY = NTa = QTb = c.
• AP = AR = BM = BS = CN = CQ = p.
• TaX= b - c.
• TbY = c - a.
• TcZ = b - a.
• ATb = ATc = BZ = BN = CY = CM = p - a.
• BTa = BTc = AQ = AZ = CP = CX = p -b.
• CTa = CTb = AY = AS = BR = BX = p - c.

En la siguiente animación puedes ver cómo se han trazado dichas circunferenciasy las relaciones que existen entre ellas.

En este enlace puedes descargarte el archivo dxf para que lo analices en tu programa de CAD.

Triángulo interiores.
Quedan determinados por las rectas notables de un triángulo cualquiera, distinguimos tres: órtico, complementario y podar. En la siguiente animación puedes ver cómo se trazan y sus principales características

Relación entre bisectriz y mediatriz.

La intersección entre la mediatriz del lado de un triángulo y la bisectriz de su ángulo opuesto determina el circuncentro. En la siguiente animación puedes comprobarlo

Relación entre altura, mediana y mediatriz.

Sabemos que la altura de un triángulo determina la posición de su lado correspondiente y que su mediana es la distancia entre el vértice de la altura y el punto medio de dicho lado. Si aplicamos la relación anterior podemos determinar el centro de la circunferencia circunscrita. En la siguiente animación puedes comprobarlo

Relación entre las medianas.

Recordemos las dos principales características de una mediana y su baricentro, respecto del vértice y del lado:
La distancia al vértice corresponde a 2/3 de la longitud total de la mediana.
La distancia al punto medio del lado corresponde a 1/3 de la longitud total de la mediana.
En la siguiente puedes comprobar la relación que se establece entre las tres medianas de un triángulo, observa que el triángulo AGC' tiene como lados 2/3 de cada una de las medianas, y que el punto medio del lado AB (M) es también al mitad del lado GC'.