Antes de meternos de lleno con las inecuaciones, deberíamos recordar algunas propiedades importantes de las desigualdades.
Ten en cuenta que el conjunto de los números reales es ordenado y esto nos permite establecer un criterio para decidir cuando un número es mayor que otro.
Aunque en la imagen de la izquierda parece que no se cumple ya que cajas con número distinto de bombones, caja de 30 y caja de 24, tienen el mismo precio, 6,49 €. (El cartel de la mitad, corresponde a otro producto).
Ejemplo o ejercicio resuelto
¿Te acuerdas de Luisa y Pedro?, nuestros amigos de TRANS VELOX.
Tenemos los siguientes datos de ellos:
Luisa tiene 50 años y Pedro tiene 40 años.
En el mes de mayo, Luisa ha ganado 1200 € y Pedro 1000 €.
En el mes de abril, debido a la inactividad que se produce por la Semana Santa y la feria, el índice de productividad de Luisa fue de -3 y de Pedro -5.
Con estos datos responde a las siguientes cuestiones:
a) Dentro de 5 años, ¿quién tendrá más años?
a) Como habrás comprobado, la respuesta es muy sencilla, y esto es debido a una propiedad de las desigualdades, donde se cumple que si a un número menor que otro se le suma el mismo número, se sigue manteniendo esa desigualdad.
Es decir: 40 < 50 → 40+5 < 50+5, ya que 45 < 55
b) Juan el gerente, les ha prometido que en junio duplicaran su sueldo. ¿Quién ganará más?
b) Por lógica, Luisa seguirá ganando más que Pedro. Esto es debido a una propiedad de las desigualdades, donde
se cumple que si en una desigualdad, multiplicamos los dos miembros por un mismo número positivo, en este caso 2, la desigualdad se mantiene.
Es decir: 1200 > 1000 → 1200·2 > 1000·2, ya que 2400>2000.
c) Luisa le dice a Pedro que para junio el índice de productividad hay
que multiplicarlo por -2, lo cual hace que Pedro se ponga muy contento.
¿Por qué?
c) Pedro se pone muy contento porque se acuerda de que había una propiedad de las desigualdades que tenía truco, es decir, que si multiplicabas ambos miembros de una desigualdad por el mismo número menor que cero, el signo de la desigualdad cambiaba.
En este caso, si en un principio Luisa ganaba a Pedro, al mes siguiente iba a ser al revés.
Es decir: -3 > -5 → (-3)·(-2) < (-5)·(-2), ya que 6<10.
Actividad
Propiedades de las desigualdades:
Sean a, b y c tres números reales.
1) Si a<b, entonces a+c<b+c para cualquier número c.
2) Si a<b, entonces a·c<b·c para cualquier número c>0.
3) Si a<b, entonces a·c>b·c para cualquier número c<0.
Las desigualdades no se comportan igual que las igualdades cuando multiplicamos ambos términos por un mismo número.
Pre-conocimiento
Uno de los casos claros de desigualdad es el que se refiere al precio de la gasolina y el gasoil.
Y también existe mucha desigualdad, dependiendo del país donde estemos.
Ejemplo o ejercicio resuelto
Actividad
Pre-conocimiento
AV - Pregunta Verdadero-Falso