3.1. Pintando áreas
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Imagen del Banco de datos del ITE. |
La arquitectura es una parte fundamental de la cultura de un pueblo. Si viajas por las diversas Comunidades Autónomas de la geografía española, podras observar que nada tiene que una construcción en un pueblo gaditano como Ubrique, con sus casas blancas encaladas con un pueblo gallego como Betanzos, con su gran vegetación y horreos maravillosos. Si no son comparables las arquitecturas urbanas en nuestro pais, imagínate a nivel internacional.
Hoy te presentamos una construcción típica de Alemania, en concreto de Bonn y vamos a intentar calcular el área de la zona superior de la casa.
Si el propietario de la casa quiere determinar el área que tiene el triángulo superior, por ejemplo para pedir un presupuesto para pintarlo, tendría dificultad para determinarla. Sin embargo, podemos ayudarnos de las integrales y del análisis para determinarlo.
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Gracias a una aplicación informática, podemos apreciar que una parte del tejado corresponde con la función y=1,75x (recta roja) y otra por la función y = -1,75x+7 (recta azul). La pregunta que nos hacemos es cómo calcular el área englobada entre las tres rectas.
Puedes apreciar que si calculamos el área entre la recta roja y la recta que tiene por ecuación la coordenada x del punto de corte de ambas, ya tendríamos calculada parte del área buscada. De forma análoga actuariamos con la recta azul. Puedes verlo en dibujo adjunto.
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Por lo tanto, en primer lugar debemos determinar el punto de corte de las dos rectas y = 1,75x e y = -1,75x + 7. Con un simple sistema de ecuaciones, obtenemos que la solución se obtiene para x = 2. Así, integraremos la función y = 1,75x entre [0,2] y la función y = -1,75x +7 entre [2,4] (el valor extremo es 4 ya que es donde la recta y = -1,75x +7 corta al eje X)
Por lo tanto podemos decir que el área de la zona superior de la casa es 7m2.
Actividad
Para calcular el área de la región formada por dos funciones y el eje x, debemos:
- Realizar un pequeña representación gráfica de las funciones
- Determinar los puntos de corte de las funciones con el eje x
- Calcular los puntos de corte entre las funciones.
- Fijar los intervalos de integración.
- Determinar que función está relacionada con cada intervalo e integrarlas en ellos.
Ejemplo o ejercicio resuelto
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Un cristalero pretende calcular el cristal necesario para realizar una ventana.
Con su camara fotográfica realiza una foto y finalmente lo descarga en el ordenador.
Gracias a un programa, determina que las curvas que generan la ventana son las rectas y = 2x e y = 4-(x-2)2. ¿Cuál será el área de la ventana indicada?
en (0,0) y (4,0). Así el intervalo donde integraremos será el [0,4], pero ¿tenemos que dividirlo? ¿En cuantos subintervalos?
AV - Pregunta de Elección Múltiple
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Fuente Propia |
El famoso grafitero Vanski,realiza sus obras por todo el mundo y tiene múltitud de seguidores. Entre las características de sus graffitis relacionados con las matemáticas, cabe destacar que el área que engloba en azul siempre es 3 m2. ¿Puedes indicar si el graffiti cumple esta condiciones o podemos afirmar que es una falsificación?
La rama roja corresponde a la funcíón y = -x2+4x ,la verde a y = -x2+4 y la blanquecina a y = 0.
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Efectivamente , el área es 3 | |
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El área es 
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El área indicada es 2.
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Es imposible calcular el área.
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