(1) Sabemos que la función f(x) es una parábola cuyo vértice es (6,0). Entonces, si la función tiene el vértice en 6, se verificará que , donde la ecuación de la función será ax²+bx+c. Si la función pasa por el punto (0,9), sustituyendo obtenemos a*0²+b*0+c=9, por lo que c= 9. Por último sabemos también que la función pasa por el punto (6,0).

De forma análoga a*36 + b*6 + 9 = 0, con lo que tenemos un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas b = -6a y 36a+6b= -9. Resolviendo el sistema se calcula, obtenemos , b= -3 y c=9.

(2) Sabemos que la recta que define el área pasa por los puntos (6,0) y (0,9), por lo que la recta referida será . Así, el área engendrada por ambas funciones sera

La representación gráfica de la recta y la parábola es

Para determinar el área, debemos calcular en primer lugar los puntos de corte de ambas funciones, resolviendo el sistema y+x=0 , y = x² + 4x + 4 obtenemos como soluciones x=-4, x=-1.

En segunda lugar integraremos la función (-x)-(x² + 4x + 4), ya que, en el intervalo indicado, la función y = -x es mayor que y =(x² + 4x + 4)

(a) Calculemos en primer lugar la recta tangente en el (1,f(1))= (1,2)

La derivada de la función dada es , por lo que la pendiente de la recta tangente será . Imponiendo que pase por el punto (1,2) obtenemos que la recta es

(b)

Área =

(b) Determinemos el área ubicada entre x= 0 y el punto de corte de la párabola con la recta en la parte positiva y multipliquemos por 2 dicha cantidad.

Para determinar el punto de corte, resolvemos 6-x²=x, cuya solución positiva es x=2.

Multiplicando por 2, al ser la función simétrica respecto al eje y, obtenemos