Imagen 1

Como vimos en la introducción, la semilla del cálculo integral la sembró Eudoxio en la época griega. Su idea hoy en día puede parecer básica y sencilla, pero ahí mismo es donde radica la genialidad de su método de trabajo. Veamos como Eudoxio calculaba áreas encerradas por una función y el eje de abscisas. 

Imagen 2

Analicemos un ejemplo. ¿Cómo calcularía Eudoxio el área encerrada por la función f(x) = x² entre los puntos 0 y 3? (Imagen 1)

El método de aproximación por rectángulos ya lo estudiaste en el Tema 2 de esta unidad didáctica, pero realizaremos un pequeño repaso ya es de gran importancia en el tema. 

Simplemente vamos a aproximar por rectángulos superiores e inferiores. Obviamente el área es mayor que 0, ya que siempre lo es, pero podemos decir que al área encerrada es menor que el rectángulo que lo engloba, como puedes ver en el dibujo adjunto (Imagen 2). El rectángulo que puedes ver en el dibujo tiene una base con medida 3 y una altura f(3) es decir, 9. Por lo tanto, podemos asegurar que el área encerrada por la curva es menor que el área del rectángulo 3*9=27 (Imagen 2).

Esta aproximación del área no es demasiado buena, por lo que podemos ir dividiendo la función en trozos y aproximar por rectángulos, tanto por exceso como por defecto, para aproximar el área encerrada.

Así, encontraremos una cota inferior del área y una cota superior del área y sabemos que el área limitada por la función se encuentra entre ambos valores.

Lo puedes probar con el applets que te mostramos a continuación. Moviendo el punto puedes determinar cuantos rectángulos inferiores y superiores quieres escoger. Al aumentar el número de rectángulos, la aproximación será mejor.

Si modificas el número de rectángulos puedes apreciar como el valor del área queda más acotado. Sin embargo, nosotros queremos un valor concreto del área, no una aproximación,ya que  no sería preciso decir que el área está entre estos dos valores.

Piensa por un momento que tomáramos infinitos rectángulo tan pequeños como se puedan tomar ¿Qué ocurriría con el área? ¿Sería una aproximación ó sería el valor que estamos buscando? Obviamente sería el valor del área encerrada.