La empresa "Mi Mascota, S.A." se dedica a la elaboración de comida para mascotas. Están trabajando en la elaboración de un nuevo producto para la alimentación de perros teniendo en cuenta que tiene que cubrir sus necesidades mínimas con 3 vitaminas V₁, V₂ y V₃ al menor coste posible.

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Cuenta con dos tipos de pienso P₁ y P₂ que quieren mezclar en las proporciones adecuadas.

La siguiente tabla muestra las dosis de cada vitamina que tienen 1 Kg de cada uno de los dos tipos de pienso:

	V1	V2	V3
P1	4	2	1
P2	1	1	2

Para que el alimento mezclado sea adecuado a las necesidades del perro debe contener, como mínimo, 8 dosis de V₁, 6 de V₂ y 6 de V₃. 

El coste de cada Kg de P₁ es de 20 €, y el de cada Kg. de P₂ de 10 €.

Vamos a ayudarles para saber en que cantidades tienen que mezclar los dos tipos de piensos para obtener un producto adecuado al menor coste posible. Sabemos que los dos tipos de pienso se venden por Kg, no pudiendo comprarse fraccionadamente, por lo que la solución debe ser de valores enteros.

1. Organicemos los datos

Vamos a llamar x a la cantidad de pienso P₁ e y a la de pienso P₂. Ponemos todos los datos en una tabla:

	Cantidad	V1	V2	V3	Coste
P1	x	4x	2x	x	20x
P2	y	y	y	2y	10y
Total		4x+y	2x+y	x+2y	20x+10y

Nuestro objetivo es minimizar los costes, por lo tanto, habrá que minimizar F(x,y)=20x+10y

Vamos con las restricciones. Las dos primeras son obvias: x≥0 e y≥0, es decir, la cantidad de cada una de los piensos debe ser positiva o nula.

Las otras tres restricciones saldrán de las cantidades mínimas de cada vitamina:

Vitamina 1 : 4x+y≥8    Vitamina 2:  2x+y≥6    Vitamina 3:  x+2y≥6

Con lo que el planteamiento del problema será:

Min F(x,y)=20x+10y

Sujeto a
x≥0, y≥0
4x+y≥8
2x+y≥6
x+2y≥6

2. Representamos la región factible y resolvemos el problema

Como podemos ver en la siguiente escena de Geogebra la región factible es no acotada. Mueve el deslizador k para ver como se desplaza la función objetivo según el valor de ese número k.

3. Conclusión

Hay dos vértices B(1,4) y C(2,2) donde la función objetivo alcanza el mínimo. Como la solución tiene que ser entera, en ese segmento sólo están estos dos puntos con coordenadas enteras.

Si esto no fuera así serían solución todos los puntos del segmento BC. Observa que esto ocurre así porque la función objetivo es paralela a una de las restricciones.

Por lo tanto, en nuestro problema hay dos posibles soluciones:

• B(1,4) en esta primera posibilidad hay que mezclar 1 kg del Pienso 1 con 4 kg del Pienso 2. El coste es de 60 €.
• C(2,2) en este caso hay que mezclar 2 kg de Pienso 1 con 2 kg de Pienso 2. El coste es también de 60 €.