3. A través del espejo
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Una de las actividades más usuales que hacemos a diario es la de mirarnos al espejo. Cuando nos peinamos, nos lavamos los dientes, nos afeitamos, nos pintamos, etc. A veces no reconocemos bien a quien tenemos enfrente, sobretodo si la noche anterior hemos estado de marcha, pero lo que no solemos pararnos a pensar es que quien estamos viendo no es exactamente nosotros, sino una imagen simétrica respecto del espejo.
En este apartado vamos a estudiar como calcular puntos simétricos respecto de una recta o de un plano.
Importante
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El punto simétrico de P respecto de un punto A es otro punto P' de forma que A sea el punto medio del segmento que une P y P'.
Ya en el tema 2 de la Unidad anterior estudiamos las coordenadas del punto medio de un segmento. Por tanto, si conocemos las coordenadas de un punto 
y queremos hallar las coordenadas de su simétrico 
respecto de otro punto 
basta construir las ecuaciones siguientes y despejar las coordenadas de 
.
La definición anterior vamos a utilizarla para hallar el simétrico de cualquier punto. Haremos como en los apartados anteriores, en cada caso lo reduciremos, aprovechando lo que ya hemos visto, al caso anterior y así hallaremos el simétrico.
De esta forma, para hallar el simétrico de un punto P respecto de una recta hallaremos el punto A que está sobre la recta y que forma con el punto P un vector perpendicular, tal como vimos en el apartado 1.1, y después hallamos las coordenadas del punto simétrico.
En el siguiente applet de Descartes tienes el proceso para hallar el simétrico de un punto respecto de una recta. Recuerda que aumentando el contador Solución puedes ver los distintos pasos de la resolución.
Applet de Descartes creado por Juan Simón Santamaría bajo licencia Creative Commons.
Ejemplo o ejercicio resuelto
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Las grandes antenas de telefonía, de televisión, de electricidad cuando son simples, etc. es corriente que lleven un anclaje al suelo mediante alambres de más o menos grosor, de forma que el viento no pueda hacerlas caer. Para que el anclaje sea más eficiente se suelen colocar las estacas de forma simétrica respecto a la antena, con el fin de que hagan fuerzas una frente a otra y fijen mejor la verticalidad de la antena.
Se va a colocar un gran repetidor de telefonía en una determinada situación y, mediante satélite, se está determinando la situación de sus anclajes. La antena se ha determinado que sigue la dirección de la recta 
. Si uno de los anclajes se situa en el punto 
, ¿en qué punto debería ir el simétrico?
. La ecuación del plano sería:
.
cumplen las igualdades:
de donde despejamos obtenemos el simétrico 
.
Si queremos hallar el simétrico de un punto respecto de un plano procedemos como hicimos en el punto 1.2, hallamos el pie de la perpendicular desde el punto exterior al plano y ese punto será el punto medio del segmento formado por el punto y el simétrico.
En el siguiente applet, tomado de la misma página que el anterior, vemos el proceso a seguir para hallar el simétrico.
AV - Actividad de Espacios en Blanco
y el plano 