4. Si tenemos muchos datos, mejor los normalizamos

Moneda dispuesta a ser lanzada al aire
16. Imagen de Freddy The Boy bajo licencia Creative Commons.

¿Te acuerdas de la binomial? Sí, el tema anterior. El modelo en el que se repetía una serie de veces un experimento, había solamente dos posibles resultados, éxito y fracaso, y contábamos el número de éxitos.

Por ejemplo, si lanzabas 8 veces una moneda y contabas el número de caras, eso era una binomial con n = 8 y p, probabilidad de éxito en un lanzamiento igual a 0,5;

X= n.º de caras → B(8; 0,5)

Si sigue recordando, la fórmula para calcular la probabilidad de un valor en este modelo era: 

 

Esta fórmula era un poco pesada de aplicar y si teníamos que calcular la probabilidad de que X fuese mayor que un cierto valor o menor, había que aplicarla varias veces.

¿Te imaginas que repetimos la prueba 50 veces y queremos calcular la probabilidad de que al menos obtengamos 20 caras? Al menos 20 significa 20 o más, o sea, que tendríamos que calcular la probabilidad de X=20, de X=21, de X=22,..., y así hasta X=50. ¡Casi nada!

 

Pues fíjate en la siguiente escena:

Tenemos la gráfica de la función de probabilidad de una distribución binomial. Ve aumentando el número de pruebas y observa lo que ocurre:

 

Applet descartes de Ricardo Gutiérrez Ibáñez bajo licencia Crative Commons


¿Se parece a algo, verdad? Claro, a lo que acabamos de ver, a la normal. Y es que efectivamente, cuando hacemos que el tamaño de la muestra o de las repeticiones sea suficientemente grande, el modelo binomial se puede aproximar al normal, pero claro, ¿a qué normal? Pues al que tiene como media la media de esa distribución binomial y como desviación típica la desviación típica del modelo binomial.Y entonces todos esos cálculos se van a facilitar.

Pero otra cuestión que hay que tener en cuenta es el valor del parámetro "p". Repite lo anterior con "p" muy pequeño ( menor que 0,1) y después con "p" muy próximo a 1 (entre 0,9 y 1). Ya no se parece tanto, ¿verdad?

Luego tenemos que fijar un criterio para considerar que la aproximación es buena, y ese criterio es que "n" tiene que ser suficientemente grande, y por ello entendemos al menos 30 y que "p" no sea ni muy grande ni muy chico, y para eso, hemos de comprobar que n·p sea por lo menos 5 y n·(1-p) también.

Icono IDevice Importante

Si X es una variable aleatoria discreta que sigue un modelo binomial de parámetros n y p ( X→ B(n , p) ), X se puede aproximar a un modelo normal de parámetro n·p y si se cumplen las condiciones para "n" y "p":

 

  • n ≥ 30
  • n·p ≥ 5 y n·(1-p) ≥ 5

 

Si se cumple esto, la variable quedaría aproximada por este modelo normal:

 

A este resultado se le conoce como Teorema de De-Moivre


Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto

 

Calle se Sevilla con naranjos y la Giralda al fondo
17. Imagen de Barraquito bajo licencia Creative Commons

¿Recuerdas a Jorge?, pues el próximo puente lo va a pasar de turismo en Sevilla y de camino probará suerte en el Gran Casino Aljarafe, aunque lo de Jorge más que probar es ganar casi seguro.

Con suficiente antelación hizo su reserva de hotel para los tres días que iba a pasar en la capital de andaluza.

Los hoteleros son conscientes de que mucha gente reserva plaza por si acaso, pero que después cuando llegue el momento no van a hacer uso de ella y le van a dejar colgada la habitación. Manejan la cifra de que aproximadamente el 15% de las personas que reservan una plaza, luego no aparecen.

Pues bien, en el hotel donde Jorge reservó la habitación se han aceptado 104 reservas para ese fin de semana, pese a que el hotel sólo dispone de 97 habitaciones. ¿Qué probabilidad hay de que Jorge se quede sin habitación y tenga que buscar otro hotel?

 

 

 


Icono de IDevice de pregunta AV - Pregunta de Elección Múltiple

 

 señal de curva peligrosa con pendiente de 20% y velocidad máxima 5
 18. Imagen de David Sotelo bajo licencia Creative Commons.

¿Hace mucho que aprobaste el carnet de conducir?  ¿Te acuerdas del teórico? Había que contestar 40 preguntas tipo test y en cada pregunta había 4 posibles respuestas de las que sólo una era verdadera y para aprobar podías tener como máximo 4 fallos. Supongo que cuando lo hiciste estudiaste bastante el código, pero, ¿te preguntaste alguna vez que posibilidades hay de aprobar sin estudiar absolutamente nada, o lo que es lo mismo, contestando al azar?

Pues ahora lo vas a calcular. Ve eligiendo la respuesta correcta en las siguientes cuestiones:

 

1) La variable a definir será:

 

 

 

  
X = Número de preguntas acertadas
X = Número de veces que me presento al examen.

2) Está claro que esa variable sigue un modelo binomial, pues en cada pregunta o aciertas o fallas. n será 40, pues hay 40 preguntas, pero ¿y p?
  
0,5
0,25
0,75

3) Este modelo binomial puede aproximarse a uno normal
       
Sí, y la aproximación es N(10 ; 2,74)
Sí, y la aproximación es N(10; 7,5)
No

4) La probabilidad que hay que calcular es:
  
P(X > 4)
P(X = 36)
P(X ≤ 36)
P( X ≥ 36)

5) La probabilidad de aprobar entonces es:
  
0,25
0,00738
0,0378
0

Icono IDevice Para saber más

Corrección por continuidad

Como ya sabes, la distribución binomial es discreta, y por tanto, tiene sentido calcular probabilidades puntuales (P[X=a]), mientras que en la normal, al ser continua esto carece de sentido.

La aproximación de una variable discreta X  por una continua a la que llamaremos X', genera un cierto error que se corrige modificando el intervalo cuya probabilidad se quiere calcular. Estas son situaciones y correcciones posibles:

  • P(X=a) = P( a -0,5 ≤ X' ≤ a + 0,5)
  • P(X ≤ a) = P( X' ≤ a + 0,5)
  • P(X < a) = P( X' ≤ a - 0,5)
  • P(X > a) = P( X' ≥ a + 0,5)
  • P(X ≥ a) = P( X' ≥ a - 0,5)

A esta corrección se le conoce como corrección de Yates, debido a que su autor fue el matemático inglés Frank Yates (1902-1994)


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