¿Recuerdas el frío que hizo el mes de enero de 2010? En algunas poblaciones del sur de España volvió a nevar después de casi medio siglo sin hacerlo. En la tabla siguiente aparecen las temperaturas mínimas que se produjeron en el transcurso de dicho mes en la ciudad de Granada.

La cuestión que nos planteamos es ¿cuál fue la media de las temperaturas mínimas a lo largo de ese mes?

Para saberlo, la primera idea es sumar todas las temperaturas y dividirlo entre 31 días, pero podemos ser un poco más ordenados y escribir lo siguiente:

2·8 + 1·7 + 3·6 + 3·5 + 3·4 + 0·3 + 4·2 + 4·1 + 5·0 + 2·(-1) + 1·(-2) + 0·(-3) + 4·(-1) + 2·(-5)

Tile Roffs & Cypress Trees de meganpru, CC by-nc 2.0

¿Qué significa la expresión anterior? Pues, como seguro que has deducido, la suma de los productos de cada temperatura por el número de días en que se ha repetido esa temperatura. Es decir, 2 días que hizo 8 grados, más 1 que ha hizo 7, más 3 que hizo 6 grados de mínima, más ... Y así obtenemos la suma de todas las temperaturas mínimas.

En dicha expresión aparecen operaciones combinadas de números enteros, y al igual que ocurre con los naturales, existe una cierta jerarquía. En este caso, primero multiplicamos y después sumamos. Tenemos:

16 + 7 + 18 + 15 +12 + 0 + 8 + 4 + 0 +-2 - 2 + 0 - 4 - 10 = 62

La suma es 62, lo dividimos entre 31 días del mes de enero, y obtenemos 2º de temperatura media mínima en Granada para ese mes. ¡Uf, qué frío!

Las operaciones con números enteros cumplen las mismas reglas que las operaciones con números naturales. Como has podido ver en el ejemplo de las temperaturas, existe una jerarquía de operaciones. La más importante es que se opera antes el producto que la suma.

Cada número entero tiene opuesto, que sumado con él da 0. El opuesto de 5 es -5, y el de -8 es 8. El único número entero que coincide con su opuesto es el 0.

Una manera muy útil y visual de representar los números enteros, es en una recta graduada. Se fija un punto para el 0 (lugar que se llama el origen de la recta), y determinada una unidad, se van fijando los enteros positivos a la derecha, y los negativos a la izquierda.

En la recta se puede estudiar muy bien tanto el orden en los enteros cómo la simetría que dos números opuestos tiene respecto del 0.

Los números enteros son una ampliación de los naturales, pues incluyen tanto el cero como los números negativos. Esto implica que se compliquen un poco las propiedades de las operaciones que podemos realizar con ellos.

Cubo de Rubick con información de la bolsa de mariafort, CC by-nc-sa 2.0

¿Qué área tiene un cuadrado de lado 5 metros? ¿Y qué volumen un cubo de lado 3 metros? Las respuestas son fáciles 5² y 3³, es decir, 25 metros cuadrados y 27 metros cúbicos respectivamente. Los números anteriores son potencias de 5 y de 3. En la primera, 5 es la base y 2 el exponente. En la segunda, 3 es la base y 3 el exponente.

Se puede definir la potencia de exponente n de cualquier número entero a, aⁿ (se lee a elevado a n) no es más que a multiplicado por sí mismo n veces.

Por ejemplo, 2⁵= 2·2·2·2·2 = 32, ó (-4)³= (-4)·(-4)·(-4) = -64.

Hay que tener en cuenta que entero negativo elevado a un exponente impar da como resultado un entero negativo. Y, una última observación, no es lo mismo (-3)² que -3². En el primer caso, el cuadrado afecta a -3, y en el segundo caso sólo a 3. Por tanto, tenemos que (-3)² = (-3)·(-3) = 9, en tanto que -3² = -3·3 = -9.