1.3. Primos y compuestos
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Leaving the Homeworld por Zeesarh cc by 2.5
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No es casualidad que un mes dure 30 días, ya que nuestro calendario es lunisolar y un mes es el tiempo aproximado que transcurre entre dos mismas fases de la luna.
Como un año tiene doce meses podemos decir que aproximadamente en un año solar transcurre doce veces el ciclo lunar. De forma aproximada, podemos considerar que un año solar es múltiplo del ciclo lunar y por el contrario, que el ciclo lunar es divisor de un año solar.
Actividad
Decimos que un número natural a es múltiplo de b si al dividir a entre b la división es exacta.
Por ejemplo, todos los números pares son múltiplos de 2. En tanto que ningún impar lo es.
Del mismo modo, se dice que b es divisor de a si al dividir a entre b la división también es exacta.
El número 5 es divisor de todos los números acabados en 5 ó 0.
Objetivos
Para repasar los criterios de divisibilidad más comunes, así como practicar los conceptos de múltiplos y divisores de un número, puedes utilizar el siguiente enlace al proyecto Ed@d del MEC.
El concepto de divisor de un número nos permite estudiar números naturales que cumplen determinadas propiedades basadas en dicho concepto. Hablamos de los muy conocidos números primos, y otros menos conocidos como los amigos y perfectos. Recuerda que se llaman divisor propio de un número, a todos sus divisores sin incluir él mismo.
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Dos números son amigos si cada uno es igual a la suma de los divisores propios del otro. |
Un número es perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios. |
AV - Reflexión
a) ¿Son amigos los números 220 y 284?
b) ¿Es 28 un número perfecto?
Por distintos motivos, desde la antigüedad los números primos han llamado la atención de matemáticos y científicos en general. Uno de ellos es la fascinación que produce su irregular distribución en el conjunto de los números naturales. Los números primos aparecen distribuidos aquí y allá, encontrándose sectores en donde abundan y otros en donde escasean. Incluso, algunas civilizaciones han llegado a considerar que eran mágicos.
Pero no nos desviemos. A continuación, en el clip de la película Contact los extraterrestres hacen señales que resultan ser ... ¡los números primos!
Actividad
Efectivamente, un número primo es aquel que sólo tien como divisores al 1 y a él mismo.
Los números que no son primos se les llama compuestos.
Se puede decir que todo número compuesto tiene más de dos divisores.
Para calcular números primos utilizaremos la Criba de Eratóstenes, que consiste en escribir los números en secuencia e ir tachando primero los múltiplos de 2, seguidamente los múltiplos del primer número sin tachar y así sucesivamente. Los números que se queden sin tachar serán precisamente los números primos.
Para que lo comprendas mejor, podrás hacer tú mismo la Criba desde esta ventana de GeoGebra, donde simplemente moviendo los deslizadores obtendrás los números primos.
Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo
En muchas ocasiones buscamos múltiplos y divisores especiales , nos referimos al máximo común divisor y al mínimo común múltiplo, por ejemplo en esta situación:
Un año el 1 de enero es luna llena, ¿cuántos años tienen que pasar para que eso mismo vuelva a ocurrir, suponiendo que todos los años tienen 365 días y todos ciclos lunares son de 30 días?
Para resolverla necesitamos un múltiplo común de 365 y 30 días, buscaremos el mínimo para encontrar la primera vez que se repite el fenómeno.
No es necesario buscar todos los múltiplos de cada número y después seleccionar el menor de los comunes, pues hay un procedimiento menos costoso que obtiene directamente el número buscado.
Objetivos
En el siguiente enlace del proyecto Ed@d del MEC puedes recordar estos algoritmos:
En el siguiente video podremos comprobar como se relacionan las matemáticas con la música.
Dos alumnas dan palmadas con el mismo pulso. Una lleva un ritmo de 3/4 y otra
4/4. Siempre dan la palmada en el tiempo fuerte del compás. De este modo una usa
múltiplos de 3 y otra múltiplos de 4.
Podemos deducir que las dos coinciden
dando la palmada a la vez cada 12 pulsos.
Es por eso que el mínimo común
múltiplo de 3 y 4 es doce.
Actividad de Espacios en Blanco
Vamos a resolver la situación planteada anteriormente:
Un año el 1 de enero es luna llena, ¿cuántos años tienen que pasar para que eso mismo vuelva a ocurrir, suponiendo que todos los años tienen 365 días y todos ciclos lunares son de 30 días?
Como ya se ha dicho, tenemos que calcular el mínimo común múltiplo de 365 y 30, para ello:
1º Haremos la descomposición factorial de dichos números (debes escribir los divisores en orden creciente, de menor a mayor):
365= ·
30= · ·
2º Calcularemos el mínimo común múltiplo como el producto de los factores comunes y no comunes elevados a su exponente.
mcm(365, 30)= · ·5· = días
Como nos piden una respuesta en años nos quedaría pasar los días obtenidos a años:
: 365 = años