2.1. El metro integral
|
|
Ahora vamos a estudiar otro de los casos en los que la integral puede ser de mucha utilidad. En esta ocasión nos proponemos calcular la longitud de una curva. ¿Cómo lo hacemos? Observa la siguiente ventana interactiva en la que te explicamos cómo hacerlo. Para ir pasando las páginas pulsa sobre ella:
|
|
Ahora vamos a utilizar lo anterior para calcular la longitud de algunas curvas.
Ejemplo o ejercicio resuelto
En la representación
gráfica que aparece en la ventana interactiva inferior puedes ver la
representación de una función que es una semicircunferencia. En este
caso hemos tomado una circunferencia centrada en el punto 
. La circunferencia con este centro y radio 2 estaría compuesta por aquellos puntos 
que verifican que la distancia de 
a 
es 2, es decir:
Es decir
despejando tenemos que
Por lo que tenemos la función
que es la que hemos representado más abajo.
Te pedimos calcular la longitud de la circunferencia completa. En nuestro caso será cuatro veces la longitud que tiene la curva anterior entre los valores 3 y 5.
|
Applet interactiva obtenida de la aplicación "Patrimonio Matemático de los Pueblos" de Mariano Real Pérez. Contenido interactivo del ITE. Para obtener un manual detallado pulsa aquí |
AV - Reflexión
|
|
| Generación de una circunferencia. Animación obtenida del Banco de imágenes del ITE. |
Te proponemos ahora que realices un ejercicio parecido al anterior, pero ahora calculando la longitud de una circunferencia con centro el punto 
y de radio 
. Para ello te guiamos un poco. Los puntos de esta circunferencia serían aquellos puntos de forma que 
. En nuestro caso:
Despejando tenemos que
Luego ya tendríamos la función que vamos a utilizar para calcular la longitud de la circunferencia:
¿En qué intervalo? Pues vamos a proceder como en el ejercicio anterior, la longitud de la circunferencia será la misma que 4 veces la longitud de la curva anterior en el intervalo 
. Te aconsejamos que, para tenerlo más claro, le des un valor a y representes la función que obtienes en la ventana interactiva superior.
