a) Aunque podríamos estudiar el sistema formado por las cuatro ecuaciones, lo mejor es pasar las rectas a paramétricas y resolver el sistema tal como hemos visto en los contenidos anteriores.

Para la recta r despejamos y, z en función de x. , por tanto, .

En s basta despejar z en función de y. y nos queda .

Igualamos las variables y obtenemos el sistema: , de las dos primeras ecuaciones obtenemos los valores t=1 y s=3 que al sustituir en la tercera ecuación comprobamos que no la cumple, ya que, . Luego el sistema no tiene solución, y como los vectores de dirección no son proporcionales, las dos rectas se cruzan en el espacio.

b) Para el segundo apartado tomamos un punto y el vector dirección de s y el vector dirección de r y tenemos lo necesario para hallar el plano. y .

Planteamos el determinante y al desarrollar obtenemos la ecuación del plano pedido: .

Convertimos las dos rectas a su ecuación paramétrica e igualamos los valores de x, y, z.

reordenamos el sistema .

Esta claro que los vectores de dirección no son proporcionales, por lo que las rectas tienen distintas dirección. Para que se corten en un punto es necesario que rango(M_c)=rango(M_a)=2, luego el determinante de la matriz ampliada debe ser nulo.

Imponiendo esa condición desarrollamos y queda que es el valor de k pedido.

b) Tomamos un punto cualquiera de r ó s y los dos vectores dirección y construimos el plano igual que hicimos en el apartado b) del ejecicio anterior.

y queda el plano:

Escribimos la recta en forma paramétrica y la sustituimos en el plano llegando a una sola ecuación en t.

sustituimos en la segunda ecuación y despejamos la y por lo tanto tenemos . Sustituimos en el plano y operamos.

Multiplicamos todo por 3, para quitar denominadores y quitamos paréntesis y entonces nos queda

Veamos cuando vale cero el coeficiente de t, es decir, el paréntesis de la ecuación.

Hay por tanto dos valores m=2 y m=-1 que hacen cero el paréntesis. Veamos entonces los casos que nos piden.

a) Para m=2 la ecuación en t quedaría 0·t=-9. Esa ecuación no tiene solución, por lo que la recta es paralela al plano.

b) Si m=-1 la ecuación queda 0·t=0 que se verifica para todo valor de t. La recta está contenida en el plano.

c) Para valores de m distintos de 2 y -1, la ecuación tiene solución única y por tanto la recta y el plano se cortan. Por ejemplo para m=0 la ecuación queda -2t=1 despejando la t obtenemos: y en este caso la recta y el plano se cortan en el punto de coordenadas:

a) Sustituimos en el plano y operamos

Por tanto si se anula el paréntesis y el sistema no tiene solución por lo que la recta es paralela al plano.

Si podemos despejar t y hay una única solución. La recta corta al plano.

b) Para m=-3 la recta es (x,y,z)=(5,0,6)+t·(-2,1,-3). Si queremos hallar un plano que la contenga ya tenemos un punto que es el propio (5,0,6) que se obtiene al hacer t=0 y un vector dirección que és el: (-2,1,-3). Si ademas queremos que sea perpendicular al plano, entonces el vector normal al plano (2,1,-1) también es director del plano buscado. Luego basta desarrollar y nos queda .

c) Este apartado hay diversas formas de resolverlo. Veamos una. Si queremos un plano que contenga a la recta, queremos uno de los planos que pertenecen al haz de planos que pasan por esa recta. Vamos a hallarlo. Para ello debemos expresar la recta como intersección de dos plano.

El haz de planos sería:

Si queremos que sea paralelo al dado el vector normal de éste, y el del haz, deben ser proporcionales.

por lo que el plano es o bien .

Otra forma de hacerlo hubiese sido coger un plano paralelo al dado, que sería 2x+y-z+D=0 y calcular D eligiendo cualquier punto de la recta y sustituyéndolo en esa expresión.