5. Imagen de Inti bajo licencia Creative Commons.

Pues bien, vamos a calcular las asíntotas y ver dónde está la función en el infinito.

Comenzamos con la asíntota vertical.

Si recuerdas, en el tema 1 de esta unidad, definimos el dominio de una función como el conjunto de valores que tomaba la variable independiente "x". Esto es lo mismo que decir, que el dominio son todos los números que se le puede dar a x.

En las funciones del tema anterior no había ningún problema. Las funciones eran de la forma y = mx + n, y como siempre se puede multiplicar y sumar, no teníamos ninguna restricción para el dominio de la función. El dominio era todos los números reales:

En las funciones cuadráticas tampoco, pues siempre se puede elevar al cuadrado un número y sumarle un producto, por lo que el dominio también es el conjunto de todos los números reales.

Pero, ¿ocurre lo mismo en las funciones que estamos viendo ahora?, o sea, en las funciones

¿Has probado a dividir alguna vez por cero? Cógete una calculadora y divide cualquier cantidad por cero. ¿Qué ocurre? Que tururú, que eso no existe. Claro, ¿cómo vas a repartir 10 caramelos entre cero niños? Si no hay a quien dárselos.

Por tanto, en las funciones racionales, el dominio son todos los números reales, salvo los que hagan cero el denominador de la función.

Pues ahí es donde van a estar los puntos candidatos a que haya asíntota vertical; los puntos donde la función se corta y al no entrar en el dominio no aparecerán pintados.

Cógete otra vez la calculadora, y ahora en lugar de dividir un número por cero, vamos a dividirlo por un número muy pequeño, por ejemplo, 0.1. Y por otro más pequeño, 0.01, ó 0.000001. ¿Qué es lo que ocurre?, cada vez nos sale un número más grande, cada vez nos vamos más al infinito. Luego ahí tenemos la asíntota vertical; cuando dividimos por algo muy próximo a cero.

Entonces, para buscar la asíntota vertical, habrá que buscar el punto donde se anula el denominador, o dicho de otra manera, la asíntota vertical está en el punto que no entra en el dominio de la función.

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Veamos ahora cómo determinar la asíntota horizontal:

La asíntota horizontal, es la recta a la que se va pegando la función cuando "x" toma valores muy grandes, positivos o negativos.

Vamos a cogernos una función concreta, por ejemplo:

¿A qué se acercará la función si le damos valores muy grandes a x?.

Pues vamos a dárselos. Si x = 100, f(100) = 4.19;  si x = 500, f(500) = 4.03; si x = 1000, f(1000) = 4.019.

Parece que mientras mayor sea el valor de x, más se va acercando la función a 4. 

Pero, ¿cómo saberlo sin tener que hacer esos cálculos?. Pues muy fácil, fíjate, cuando hemos calculado f(1000), la operación que hemos hecho es:

Pero ¿realmente es importante sumar 3 a 4000? Si yo tengo 4000 €, 3 euros más o 3 euros menos no me supone mucho. Lo mismo ocurre en el denominador, el 4 que está restando no hace mucho si se le está quitando a 1000.

Así, si estamos dándole a "x" valores grandes, los coeficientes "b" y "d" que están sumando los podemos suprimir, pues no aportan demasiado.

Luego si x es muy grande,

y simplificando, nos quedamos que cuando x es grande, la función es aproximadamente 4.

Como dijimos al final del punto anterior, una vez que sabemos cuáles son las asíntotas, representar este tipo de función es muy fácil, pues sabiendo a las rectas que se han de pegar, sólo debemos dar unos cuantos valores a la función para ajustar la gráfica.

En la siguiente escena puedes ver varios ejemplos resueltos.

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