4. Funciones populares

Al igual que en Literatura nos encontramos con obras clásicas como  la "Ilíada" de Homero, en música las "Sinfonías" de Beethoven, o en el cine con películas como "2001, una odisea en el espacio" de Kubrick. En el mundo de las relaciones funcionales, ese papel de clásicas lo interpretarías las funciones afines y cuadráticas.

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Las funciones polinómicas de primer grado, también llamadas funciones afines son aquellas cuya ecuación es del tipo f(x) = mx + n

Algunas de sus características principales son:

Su dominio es todo Si m > 0, la función es creciente 
Su gráfica es una recta con pendiente m Si m < 0, la función es decreciente
Pasa por el punto (0,n) [Punto de corte con el eje OY]

 

 

 

 

Dentro de las funciones afines podemos distinguir dos tipos. En una función afín: f(x) = mx + n

· Si m = 0, la función y = n se denomina función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje OX, que pasa por el punto (0,n)

· Si n = 0, la función y = mx se denomina función lineal y su gráfica es una recta de pendiente m que pasa por el origen de coordenadas (0,0)


Comprueba y practica las características de las funciones afines con el siguiente applet de Wiris. Simplemente deberás seleccionar los valores para m (pendiente) y n (ordenada en el origen).
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Imagen de isaleal con licencia CC BY 2.0

 

Con motivo de la celebración de la semana cultural en una gran ciudad, se ha considerado poner una tarifa plana en el precio de las entradas para acudir a las distintas representaciones teatrales que se celebran esa semana. Se ha establecido una tarifa de 12 euros por persona.

(a) Obtén la ecuación de la función que nos permitirá calcular la recaudación obtenida en cada teatro, en función del número de asistentes.

(b) Si en un determinado teatro se ha completado el aforo para asistir a una obra y se ha recaudado un total de 8400 €. ¿Cuál es el aforo, la capacidad, del teatro? Es decir, ¿cuántas entradas se han vendido?

 

Resolvamos el problema.

(a) La función es f(x) = donde x es el número de asistentes.

(b) El aforo máximo del teatro es de personas.

  

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Imagen de M. Peinado con licencia CC BY 2.0

El precio del trayecto de un taxi tiene un coste fijo de 3 €, más 0,5 € por cada
kilómetro recorrido. Para asistir a la obra de teatro, cogemos uno.

(a) Elabora una tabla de valores de la función
(kilómetros - euros) de nuestro taxi y realiza una representación
gráfica a partir de dicha tabla.

(b) Halla la ecuación de dicha función y calcula su
pendiente.

(c) Si nos cobran 6,25 € por el trayecto hasta el teatro, ¿qué
distancia en metros tiene dicho trayecto?

Nota: Puedes realizar la representación gráfica con Geogebra, apoyándote en el procedimiento que describe en esta construcción.


Imagen de tegioz con licencia CC BY 2.0

Desarrollamos a continuación el estudio de otra de las familias con historia en el mundo de las funciones. Nos referimos a las ya mencionadas funciones cuadráticas.

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Las funciones polinómicas de segundo grado, también llamadas funciones cuadráticas son aquellas cuya ecuación es del tipo:

f(x) = ax2 + bx + c, con .

Algunas de sus características principales son:

Su dominio es todo El vértice de la parábola es
Su gráfica es una parábola, simétrica respecto a eje de simetría que pasa por su vértice. Cuanto mayor sea el valor absoluto de a, |a|, más cerrada será la parábola.
Si a > 0 el vértice de es un mínimo absoluto Si a < 0 el vértice es un máximo absoluto
Si a > 0 es una función convexa
Si a < 0 es una función cóncava

 

Entre las funciones cuadráticas podemos distinguir tres tipos especiales, que se corresponden con otras tantas ecuaciones incompletas.

En una función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, con .

· Si b = 0 y c = 0, la función f(x) = ax2 tiene su vértice en el punto (0,0) y su eje de simetría es el eje OY

· Si b = 0 y , la función f(x) = ax2 + c tiene su vértice en el punto (0,c) y su eje de simetría es el eje OY

· Si y c = 0, la función f(x) = ax2 + bx tiene su vértice en el punto y su eje de simetría es la recta


Comprueba y practica las características de las funciones cuadráticas con el siguiente applet de Geogebra. Simplemente deberás desplazar los deslizadores para configurar los valores de los coeficientes a, b y c.

Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto

Al rojo vivo.

La función T(t) = 24t - 2t2, con 0t12 , devuelve la temperatura, T, en grados centígrados, que alcanza el motor de una máquina de fabricación industrial en función del tiempo, t, en horas, que lleve funcionando.

(a) Realiza la tabla de valores y representa la gráfica de la función.

(b) ¿Qué temperatura alcanza el motor al cabo de 2 horas de funcionamiento?

(c) ¿A qué hora alcanza el motor su temperatura máxima? ¿Cuál es el valor de esta temperatura máxima?

(d) Observa la gráfica y describe: el dominio, recorrido, la monotonía y la simetría (par/impar) de la función.

Nota: Puedes realizar la representación gráfica con Geogebra, apoyándote en el procedimiento que describe Jesús Fernández en esta presentación. A la hora de representarla deberás usar la variable "x" en vez de la variable "t".


Icono IDevice Objetivos

Si quieres consolidar y ampliar tus conocimientos sobre el tema, puedes hacerlo en esta unidad del Proyecto Descartes realizada por Josep Mª Navarro Canut.

Tablas y expresiones algebraicas