2. Mejor por intervalos

Como habrás podido comprobar en el apartado anterior, los estimadores puntuales sólo dan una idea aproximada del valor del parámetro a estimar, no conociéndose cómo de buena es la aproximación; ellos simplemente proporcionan el mejor número que pueda proponerse como valor del parámetro.

Por ejemplo decir que en el IES "Benito V." respecto al estudio de utilización de redes sociales, significa que aproximadamente el 75% de todos los alumnos y alumnas del instituto participan en redes sociales a través de internet, pero el término "aproximado" no se sabe si alude a un 1% arriba o abajo, o a un 10% arriba o abajo. De hecho, no puede esperarse gran cosa de un estimador.

Los problemas anteriores eran de esperar pues realmente es demasiado pedir que a partir de una muestra pueda calcularse el valor del parámetro tan exactamente como si se tomara toda la población. En realidad lo que importa es que el valor de la proporción muestral ,por ejemplo, no esté demasiado alejado de , y esto se comprueba con los intervalos de confianza.

El objetivo es realizar afirmaciones del tipo: "la proporción media de todos los alumnos y alumnas no sé exactamente cuanto es, pero es casi seguro alguno de los valores 0,7 ≤ p ≤ 0,8, con una cierta seguridad".

La seguridad alude a la probabilidad de que la afirmación sea cierta, con lo que el problema de obtener intervalos de confianza para un parámetro radica en encontrar dos valores a y b tales que P (a ≤ p ≤ b) = 1-α, donde (a,b) es el intervalo de confianza para p, 1-α el coeficiente de confianza (c) del intervalo (usualmente próximo a 1) y α el nivel de error del intervalo (usualmente próximo a 0).

Aquí tienes un curioso vídeo donde se explica la estimación por intervalos de confianza de una proporción.

 

 

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A la hora de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.


El nivel de confianza, C, indica, en porcentaje, con qué proporción el intervalo de confianza contiene el parámetro estimado.

El coeficiente de confianza, c=1-α, es la misma proporción en tanto por uno, c = C/100. En otras palabras, c es la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga el parámetro estimado.

Al valor de α lo llamamos nivel de significación o de riesgo.

Al valor que resulta de restar el extremo superior del inferior del intervalo de confianza, lo llamamos margen de error.

Si α = 1 - c, y (a,b) es el intervalo de confianza se cumplirá lo que puedes ver en la siguiente escena de Descartes creada por Aurelio Casas.

 


Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

VALORES CRÍTICOS

 

Campana

Imagen de Guadalupe Cervilla bajo licencia Creative Commons

Recuerda que cuando una distribución seguía una normal N(0,1), a veces no interesa calcular la probabilidad de que un parámetro esté en un intervalo, sino encontrar un intervalo que tenga cierta probabilidad.

Para ello necesitamos conocer los valores críticos Z1-α, -Z1-α, Z1-α/2 y -Z1-α/2 mirando el valor de la probabilidad en la tabla de la Normal.

 

Aquí tienes varias escenas de Descartes de Francisco Artigues para que repases el sentido que tiene el valor de Z.

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Con la ayuda de esta escena de GeoGebra creada por José Álvarez y modificada por José María Vázquez de la Torre, seguro que comprenderás mucho mejor el significado de nivel de confianza, intervalo de confianza y valor crítico.

Icono de IDevice de pregunta AV - Pregunta de Elección Múltiple

Con la ayuda de la escena anterior o bien de la tabla de la Normal, contesta a las siguientes preguntas:

a) El valor crítico correspondiente a un nivel de confianza del 90% es ...

  
-1,64
1,64
1,645

b) El intervalo de confianza que encierra a un 97% de los datos es...
  
(-2,2)
(-2,17 , 2,17)
(-2,15 , 2,15)

c) A un valor crítico Z1-α/2 = 1,51 le corresponde un nivel de confianza del ...
  
1, 51 %
0,86896 %
86,9 %

d) El intervalo de confianza ( −1,9 , 1,9 ), ¿qué porcentaje de la población comprende?
  
94 %
19 %
0,94257

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