Imagen de Jam Adams bajo licencia Creative Commons

¿Te gusta jugar al póker? Imagínate que hubiera una función que te dijera cuánto apostar en cada momento según lo que apuestan tus contrincantes. ¿Genial, no? Imagínate esa vocecita en la conciencia diciéndote hasta aquí, que si no pierdes.

Si representáramos esa función, tendría un tope, un punto del cual no subiríamos más.

Te pongo otra situación, pon un cazo con agua al fuego, pon un termómetro que marque la temperatura del agua, y déjalo ahí, bueno por seguridad quizás es mejor que no lo hagas, pero no cuesta mucho trabajo darse cuenta que la temperatura del agua irá subiendo cada vez más y si no la apartamos del fuego seguirá subiendo. O sea, en este ejemplo, no existiría ese tope o barrera para la función.

En matemáticas, esa barrera se llama cota, y si una función la tiene, decimos que está acotada. Fíjate en las siguientes gráficas:

En la primera, la función continúa hacia arriba y hacia abajo, es decir, el recorrido o conjunto imagen es el intervalo (-∞, + ∞). Por tanto, en esta función no existe esa barrera por arriba ni por abajo, luego la función no está acotada.

En la segunda gráfica observamos todo lo contrario, ni baja del valor 1, ni se pasa del 5; luego como hemos visto en el punto1.2, Rec(f)=(1,5]. En este caso decimos que la función está acotada, por abajo, la cota inferior es 1 y por arriba, la cota superior 5.

En la tercera gráfica, tenemos una mezcla de los dos casos, por arriba sí está acotada (no se pasa de 5) pero por abajo no (fíjate que la rama de la derecha sigue descendiendo cada vez más.) En este caso, se dice que la función no está acotada, aunque sí lo está superiormente por 5.