2.1. Tocando la gráfica
Idea gráfica de derivada a una función en un puntoMueve los puntos A y B y observa
Mariano Real Pérez, Creación realizada con GeoGebra |
Observa que la pendiente de la recta que pasa por 
y por 
es: 
que lo hemos indicado en la imagen como pendiente de la recta secante que pasa por y por .
A medida que en la imagen aproximamos el punto al punto la recta secante que pasa por y se va acercando a la recta tangente a la función 
en el punto , por lo que la expresión
se va acercando a la pendiente de la recta tangente a la función en el punto . De esta forma tenemos que: 
Pendiente de la recta tangente a la función en el punto .
Generalizando lo anterior tenemos que:
Importante
Si tenemos una función , la derivada de la función en x=a, 
es la pendiente de la recta tangente a en el punto de abcisa 
.
De esta forma, si tenemos una función , su función derivada 
es la función que en cada punto toma el valor de la pendiente de la recta tangente a en ese punto.
El siguiente vídeo te explica gráficamente este hecho:
Por tanto, la recta tangente a la función en el punto 
es: 
.
A la recta perpendicular a esta recta tangente en el punto se le llama recta normal. Así, la ecuación de la recta normal es: 
.
Hemos aplicado que la pendiente de una recta, m, y la de una recta perpendicular a ella, m', verifican que m·m'=-1.
En la siguiente ventana interactiva puedes observar para distintas funciones en un punto concreto la recta tangente (en verde) y la recta normal (en violeta).
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Applet obtenida de los recursos didácticos de Descartes. |
Derivada de la función senoMueve el punto A a lo largo de la gráfica
Mariano Real Pérez, Creación realizada con GeoGebra |
AV - Actividad de Espacios en Blanco
El valor numérico de la pendiente de la recta tangente a la función de la gráfica anterior es en los puntos máximos.
El valor numérico de la pendiente de la recta tangente a la función de la gráfica anterior es en los puntos mínimos.
La función que resulta como función derivada es la función .
La pendiente de la recta tangente a la función en el punto 
es
.
La pendiente de la recta normal a la función en el punto es
.
AV - Reflexión
Te proponemos ahora un ejercicio que ya has realizado en el apartado 1.3. de forma que observes qué pasa gráficamente.
Si tenemos la función 
Calcula los calores de 
y de 
para que la función sea derivable en 
. Observa en la gráfica que aparece más abajo lo que sucede con esos valores.
. 
los límites laterales deben coincidir, llegamos a que 
. 
.
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Applet obtenida de la web de Educastur |
Ejemplo o ejercicio resuelto
para que la recta 
sea tangente a la función 
.
.
.
.