3. Con nombre y apellido; Distribución Binomial
 |
| Imagen de Comodoro Deportes bajo licencia Creative Commons |
En el ejemplo del apartado anterior, veíamos que si contestábamos al azar una pregunta de tipo test se producía una situación con dos únicas posibilidades acertar o fallar, al igual que en el juego de las monedas de Gonzalo. Bueno, no exactamente era así, había tres posibles resultados, pero si lo miramos diciendo que gana algo de dinero o pierde ya sí.
Pero claro, ni el examen tendrá una única pregunta ni Gonzalo jugará una sola vez, sino que se repetirá varias veces la misma situación. Pues bien, cuando repetimos una serie de veces un experimento de Bernoulli con las mismas probabilidades de éxito y fracaso en todos las repeticiones, llegamos a un modelo binomial. Por ejemplo, imagínate que todos los niños de la fila juegan al mismo juego que Gonzalo. Estamos repitiendo el mismo experimento una serie de veces. Si nuestra variable indica el número de niños que ganan, tendremos una variable binomial.
Lo ponemos todo con más detalles.
Importante
Tenemos un experimento de Bernoulli en el que la probabilidad de que ocurra el éxito es "p", repetimos ese experimento una serie de veces "n" en las mismas condiciones y anotamos el número de veces que ocurre el éxito en esas n repeticiones. Entonces, la variable aleatoria X que mide el número de éxitos obtenidos decimos que sigue una distribución Binomial de parámetros n y p, y lo expresamos así:
X= n.º de éxitos obtenidos → X~B(n , p)
Fíjate que X es una variable aleatoria discreta, pues habrá un éxito, dos o catorce, pero X no podrá valer 1,5 ni 2,23.
Ejemplo o ejercicio resuelto
 |
| Imagen de jgoge123 bajo licencia Creative Commons |
En nuestro examen tipo test había cuatro posibles respuestas en cada pregunta, por tanto, una pregunta se acierta con una probabilidad del 25% y se falla con una probabilidad del 75%.
El éxito de este experimento es acertar, pues nos interesa ver cuántas preguntas acertamos para aprobar o no aprobar el examen, luego el parámetro p será:
p = 0,25.
Todavía no hemos dicho cuántas preguntas tiene el examen. Si por ejemplo, decimos que hay 10 preguntas, tendremos que repetir ese experimento de contestar al azar 10 veces, luego el parámetro n será 10:
n= 10.
Además, como en todas las preguntas las probabilidades éxito y fracaso no varían (siempre hay 4 posibles respuestas), el número de éxitos, o sea, el número de preguntas acertadas, nos conduce a una binomial y sería así:
X = Número de preguntas acertadas → X~B(10 ; 0,25)
AV - Actividad de Espacios en Blanco
1) 20 niños juegan a cara o cruz. La variable X que mide el número de caras obtenidas es una binomial de parámetros n= y p=
2) Gonzalo apuesta 15 veces al juego y su mujer quiere contarles las veces que pierde. La variable X=nº de veces que pierde es una binomial. X~B( ; )
3) En una población, al 62% le gusta tomar café. Si elegimos una muestra de 12 personas y nos preguntamos sobre el número de personas a las que les gusta el café de ellas, estamos ante una binomial B( ; )
4) Una máquina fabrica un 2% de piezas defectuosas. Si cogemos 50 piezas y nos preguntamos sobre un número de piezas defectuosas, tenemos un modelo binomial donde los parámetros son n= y p =
Curiosidad
 |
| Imagen de Nicholas_T bajo licencia Creative Commons |
La distribución Binomial tiene muchísimas aplicaciones en campos diversos. Por ejemplo, el control de calidad sobre las piezas que fabrica una determinada máquina puede realizarse a partir de aplicar la distribución binomial a una muestra, el número de personas que sanan ante un nuevo medicamento puede preverse a través de una binomial, o el número de personas que contraerán un determinado virus, también.
En la ingeniería agrícola, las pruebas sobre el rendimiento de un nuevo cultivo y su extrapolación a grandes plantaciones se basan muchas veces en esta distribución.
Y que decir de los estudios de mercado en una población. Ventas de un nuevo producto, apertura de un nuevo negocio en un determinado lugar de la población, impacto de la publicidad en la población, análisis de riesgo de una determinada inversión. Todas estas cuestiones se resuelven a través de encuestas y muestras y las conclusiones se explican a través de distribuciones binomiales.
Como ves, la distribución binomial está mucho más presente de lo que te imaginas.