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Nuestra función área era  A(x) = 300x - 2x², donde x indicaba el ancho de la parcela.

La primera derivada era A'(x) = 300 - 4x, y habíamos obtenido que x = 75 era el candidato a extremo relativo. Lo comprobamos con la segunda derivada.

La segunda derivada, sale de derivar la derivada, es decir, de derivar la función A'(x). Esta función es polinómica, así que no tiene ninguna dificultad. Aplicamos las propiedades de las derivadas y obtenemos que:

A'' (x) = 0 - 4 = - 4 

Si sustituimos el valor x = 75 en esa segunda derivada, obtenemos:

A''(75) = -4, pues no hay ninguna x donde sustituir 75; la segunda derivada es una función constante.

En cualquier caso, tenemos que A'(75) = 0 y A''(75) < 0, por tanto, x = 75 es un máximo relativo.

¿Cuál es el valor de ese área máximo? Pues nos vamos a la función y sustituímos la x por 75:

A(x) = 300x - 2x² → A(75) = 300·75 - 2·75² = 22500 - 11250 = 11.250 m²

Pero ojo, un máximo realtivo no tiene por que ser absoluto, es decir puede que haya otro máximo mejor, y eso lo vemos buscando en el dominio de la función y en el dominio real del problema o situación.

Nuestra función Área es un polinomio y por tanto el domino es (-∞,+∞), pero x indica la longitud de la anchura. Puesto que longitudes negativas no tienen sentido, el valor más pequeño que puede tener x es cero. Por otro lado, tenemos 300 metros de valla y dos lados de anchura que cubrir con la valla, así que como mucho, x podrá valer 150 m, pues si es más, ya nos pasamos de los 300 m.

Por tanto en el contrexto del problema, el dominio de la función es [0 , 150]. Bueno, pues vamos a evaluar la función en esos dos valores extremos:

A(0) = 300·0 - 2·0² = 0 m². Lo que es totalmente lógico, pues si no le damos anchura tenemos una recta de 300 m y la superficie de una línea es 0.

A(150) = 300·150 - 2·150² =  45000 - 45000 = 0, por idéntico motivo.

Por tanto, en ninguno de los dos extremos se mejora la solución, es más, estamos obteniendo los mínimos absolutos. Ahora sí, podemos afirmar entonces que x = 75 es el máximo de la función, obteniéndose por tanto la parcela de superficie máxima si x vale 75  metros.

Si recuerdas, la relación entre largo y ancho era  Y = 300 - 2x. Si x = 75, nos sale que Y = 150, por tanto las dimensiones óptimas para la parcela son 150 m de largo y 75 de ancho. Con esas medidas obtenemos 11.250 m² para cultivar lechugas y coles.