2.2. Envasando volumenes

Una vez que hemos finalizado el proceso de construcción de nuestra función a optimizar, ahora pasamos al punto de conseguir lo máximo de ella, analizarla y determinar aquellos valores para los que la función se hace máxima ó mínima. Como hemos estudiado en el punto 1, hemos de buscar sus puntos críticos (los puntos donde la derivada se anula) y analizar los valores de la función en los extremos del intervalo donde se encuentra definida. Así encontraremos los valores buscados.

Actividad

Una vez obtenida la función a optimizar, debemos:

1. Determinar el dominio de la función a optimizar [a,b]

2. Calcular la derivada de la función f(x), f '(x)

3. Resolver la ecuación f '(x) = 0, donde obtendremos la soluciones x₁,x₂,x₃,...

4. Calcular los valores f(a), f(x₁),f(x₂),f(x₃),...,f(b)

5. Determinar aquellos valores para los que la función se hace máxima ó mínima.

Ángela ha comprado un pequeño terreno para plantar diversas vegetales y hortalizas. Quiere delimitar el terreno formando un rectángulo con un rollo de cuerda que mide 20 metros, de tal forma que la superficie que englobe sea máxima para así poder plantar más.

¿Cual será la función, de una sola variable, que determina el área encerrada? ¿Cuál sería la superficie máxima encerrada?

En primer lugar, vamos a determinar claramente la función solicitada. El problema nos indica que debemos trabajar con el área de un rectángulo y sabemos que el área de éste es base por altura es decir f(x,y)=x·y, donde x representa la base e y la altura.

Pero esta función tiene dos variables y pretendemos que nuestra función solo tenga una variable. ¿De donde podemos obtener una condición para eliminar una incógnita? Si leemos el problema, apreciamos una condición, el rectángulo debe ser formado por una cuerda de 20 metros.

Esta condición, la pasaremos ahora a lenguaje algebraico, ya que la suma de los cuatro lados del rectángulo deben sumar 20 metros luego x + y + x + y = 20, es decir, 2·x + 2·y = 20. Despejando la variable y de esta expresión, determinamos que y = 10-x. En este momento, podemos ya sustituir nuestra variable y en la función f(x,y) de dos variables y obtener la función de una variable, la añorada f(x) = x·(10-x).

En el siguiente applets, creado por José Manuel Sánchez Grande, para el proyecto Descartes, puedes modificar el punto rojo y observaras el área que engloba el rectángulo en función del tamaño de la base.

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

Ejemplo o ejercicio resuelto

"A partir de una cartulina cuadrada de 10 cms de lado se va a construir una caja de base cuadrada, sin tapa, a base de recortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas de la cartulina y doblando después de la manera adecuada. Un observador indica que la caja de más capacidad se obtendrá si los cuadrados eliminados tienen 2 cm. de lado. Decidir si la observación es correcta o no."

AV - Reflexión

Foto tomada del Banco de imágenes de wikipedia.

La empresa de conservas de tomates "Tomatori" necesita disminuir sus costes para salir de una dificil situación económica. Para ello, plantea a su suministrador de envases crear un nuevo recipiente de hojalata de 1 litro de capacidad, pero disminuyendo los costes lo máximo posible.

Desde la empresa de recipientes, plantean la construcción del nuevo recipiente, pero desconocen cuáles deben ser las medidas del radio y la altura del cilindro para gastar la menor cantidad de hojalata en su construcción y que el volumen sea 1 litro, lo deseado por el cliente.

Indica cuales deben ser el radio y la altura del envase buscado.

AV - Reflexión

Foto del Banco de Imágenes de wikipedia.

Una conocida cadena de grandes almacenes, "El Corte Escocés" quiere lanzar para su campaña de Navidad unas pequeñas cajas cuadradas con tapas para envolver regalos.

Pretenden que la capacidad sea 8 , pero que el coste sea el más económico.

Indica las dimensiones que debe tener la caja para que la superficie exterior sea mínima.

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