Si y entonces:

Luego sumando tenemos que

Para que los tres vectores sean linealmente independientes, el determinante formado por ellos tres debe ser distinto de cero.

Luego serán linealmente independientes siempre que el parámetro sea distinto de 2.

Por otra parte y son ortogonales si su producto escalar es cero, es decir:

Luego son ortogonales si el valor del parámetro es -1

Si es el vector que buscamos, tenemos que:

De las dos últimas ecuaciones obtenemos que , por lo que sustituyendo en la primera tenemos que:

. Así, tenemos dos soluciones:

y

Para que un vector sea ortogonal al anterior se tiene que cumplir que:

Par tanto, el vector tiene la forma Así, basta tomar dos vectores y de forma que la matriz formada por ellos tenga rango 2. Por ejemplo, en nuestro caso

Los vectores que resultan son (-1,1,0) y (-3,0,1)

Si es el vector que buscamos, tenemos que:

Despejando en la primera ecuación:

Como se trata de encontrar un vector, si hacemos tenemos que 

Si tomamos la positiva y sustituimos en la segunda ecuación del sistema tenemos que:

Por tanto, el vector pedido sería por ejemplo

En este caso, como los dos vectores son ortogonales, los dos vectores son perpendiculares. Sabemos que la suma de los vectores se obtiene de forma gráfica colocando el segundo vector a continuación del primero y uniendo el principio del primero con el final del segundo. En este caso, obtenemos un triángulo rectángulo en el que los catetos son los vectores y y la hipotenusa es el vector , por tanto, aplicando el teorema de Pitágoras:

De forma análoga se obtiene que: