1. Subidos al árbol
Pre-conocimiento
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Jules Cesar mosaic cannon plaza
por Ray & Val con licencia cc by-nc-sa
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Como ya sabemos, el cálculo de probabilidades se interesa por todos aquellos fenómenos donde existen incertidumbre. Es decir, influye la casualidad o sus resultados son aleatorios.
Hay una famosa frase que pronunció Julio César cuando cruzó el Rubicón: "Alea iacta est", es decir, ¡El dado ha sido lanzado, la suerte está echada!. Se consideraba que el dado era el símbolo de la casualidad y de ahí viene la palabra aleatorio.
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| El frigo a tope de Arkangel, CC by-sa 2.0 |
Esta mañana al salir de la cama, Lola se ha dirigido a la cocina, ha abierto la puerta del frigorífico, y aún dormida, sin mirar, ha cogido uno de los "pack" de seis yogures. Con los ojos medio cerrados, ha separado uno de los vasitos de yogur, le ha quitado la tapa, ha metido la cucharita y se la ha llevado a la boca. En ese preciso instante es cuando se ha despertado. El sabor a plátano desnatado, el que menos le gusta de todos, le ha llevado a entrar en el nuevo día.
En el frigorífico Lola tenía tres "pack" de yogures. Uno desnatado y dos normales, sin desnatar. El desnatado estaba compuesto de tres yogures naturales, dos de fresa y uno de plátano. Los no desnatados contenían tres naturales, uno de fresa y dos de plátano.
¿Cuál era la probabilidad de que Lola, al azar, sin mirar el tipo de "pack" ni el sabor que cogía, le tocara su odiado sabor a plátano desnatado?
La respuesta a esta pregunta la iremos viendo a lo largo del tema.
En primer lugar, debemos darnos cuenta de que esta experiencia es compuesta, pues consta de dos experimentos: el primero es elegir el pack, y el segundo coger el yogur en función del pack elegido.
Actividad
Ejemplo o ejercicio resuelto
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Tenemos pendiente conocer la probabilidad de que Lola eligiera un yogur desnatado con sabor a plátano. Pero, antes de responder a esa pregunta, nos haremos otras.
a) Si sabemos que Lola ha escogido el "pack" de los yogures desnatados, ¿cuál es la probabilidad de que eliga el de sabor a plátano?
b) En el caso de que Lola hubiera seleccionado el "pack" de los yogures normales, ¿cuál sería la probabilidad de que eligiera el de sabor a plátano?
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Actividad
Sean A y B dos sucesos cualesquiera con P(B)>0. Se define la probabilidad del suceso A condicionada al suceso B y se representa por P(A/B) como:
La igualdad anterior también se puede expresar de la siguiente manera: 
La primera pregunta de la autoevaluación anterior, se podría expresar .
P("elegir un yogur sabor a plátano" / "escoger los yogures desnatados") = 
El numerador es 1/18, pues sólo un yogur es desnatado y con sabor a plátano del total de 18 yogures que hay en la nevera. Y el denominador es 1/3, pues de los tres "packs" de yogures, sólo uno es desnatado. Por tanto, tenemos que la probabilidad anterior queda.
Que coincide con el resultado que habíamos obtenido antes.
Actividad
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El árbol de la vida de Klimt (pared de un aula del
IES Pablo de Olavide en La Luisiana (Sevilla))
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Para organizar los posibles resultados de un suceso compuesto y facilitar el recuento de todos los casos se utiliza en probabilidad el llamado diagrama de árbol.
El diagrama de árbol es un gráfico que nace de un tronco y sus trazos se van ramificando como un árbol. Se llama así porque está formado de ramas.
Una rama es cada una de las flechas del diagrama. Siempre se debe escribir en ellas las probabilidades de sucesos simples.
Un camino es el conjunto de ramas que van desde el principio al final.
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Veamos cómo sería el árbol de los yogures de Lola.
Recordemos, en el frigorífico había 1 paquete de yogures desnatados y 2 de normales, sin desnatar.
El paquete de desnatado tenía 3 naturales, 2 de fresa y 1 de plátano.
En tanto que el "pack" de no desnatados contenía 3 naturales, 1 de fresa y 2 de plátano.
En la imagen de la derecha podemos ver cómo se distribuye el árbol. En cada "rama" está colocada la probabilidad de ese suceso.
Por ejemplo, P("yogur desnatado")= 
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Otro ejemplo, P("yogur natural" / "yogur no desnatado") = 
.
Un último ejemplo, P("yogur de fresa desnatado") = P("yogur desnatado")·P("yogur de fresa" / "yogur desnatado") = 
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AV - Actividad de Espacios en Blanco
a) P("yogur de fresa" / "yogur no desnatado") = /
b) P("yogur de plátano y desnatado") = /
Por cierto, esta es la pregunta que nos hicimos al principio del apartado.
Actividad
Regla del producto
Sean A, B y C tres sucesos con probabilidad distinto de cero.
