1.2. En el centro

Imagen de José Goulão con licencia Creative Commons

¿Recuerdas el ejemplo anterior de la valoración de nuestro líder político? Volvamos a ver los resultados obtenidos en la encuesta:

Puntuación	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
N.º de personas	12	38	62	97	160	130	65	18	11	6	1

Si bien la media es el valor central más representativo de una muestra, no es el único valor central que podemos calcular. También podemos ver cuál es el dato que más se repite, en nuestro caso, cuál es la puntuación que más personas han elegido para valorar al líder político. En el ejemplo este valor es 4. Este dato es la moda de la variable estadística.

Si la variable es discreta, el cálculo de la moda no presenta ninguna dificultad, únicamente observamos las frecuencias absolutas en la tabla, vemos cuál es la mayor y la moda será el valor de la variable correspondiente a dicha frecuencia. Puede que haya más de un valor máximo, en este caso la distribución será bimodal (si hay dos), trimodal (si hay tres), ...

Si la variable es continua los valores se agrupan en intervalos, por lo que tendremos un intervalo modal que será el de mayor frecuencia absoluta. No obstante, si consideramos que los datos están uniformemente distribuidos podemos calcular un valor concreto para la moda que vendrá dado por la siguiente fórmula:

Donde L_i es el límite inferior del intervalo modal, las frecuencias absolutas corresponden al intervalo modal, al anterior y al siguiente y c es la amplitud de dicho intervalo.

Pulsa en el siguiente enlace para ver la escena de Luis Barrios Calmaestra donde se puede calcular el valor de la moda para una variable estadística continua.

En la siguiente escena puedes practicar el cálculo de la moda para variables discretas.

Imagen de IowaPolitics.com con licencia
Creative Commons

Además de la moda, podemos calcular el valor que está justamente en el centro de todos los datos una vez que están ordenados. En nuestro ejemplo tenemos 600 datos, sería interesante conocer cuál es el valor que deja 300 datos menores que él y otros 300 mayores que él. Este dato es la mediana. Para calcularla nos vamos a ayudar de la tabla de frecuencias, a la que añadiremos la columna de la Frecuencia acumulada (F_i). Esta frecuencia se obtiene sumando todas las frecuencias absolutas hasta el dato en el que nos encontramos.

x_i	f_i	F_i
0	12	F₁=f₁=12
1	38	F₂=f₁+f₂=50
2	62	F₃=f₁+f₂+f₃=112
3	97	209
4	160	369
5	130	499
6	65	564
7	18	582
8	11	593
9	6	599
10	1	600
	N=600

Para el cálculo de la mediana lo primero que hay que hacer es construir la tabla de frecuencias anterior. A continuación, calculamos la mitad del número de datos

Si N es impar la mediana corresponderá al x_i correspondiente al primer F_i que supere ese valor.
Si N es par:
- Si exite algún valor de la columna F_i que es igual a , la mediana es la media entre el x_i correspondiente a ese F_i y el siguiente, x_i+1.
- En caso contrario, la mediana será el x_i que se corresponda con el primer valor de F_i que supere a .

En nuestro caso la mediana es 4,porque 4 es el primer valor de la variable cuya frecuencia acumulada supera el valor de 300.

Hemos visto el cálculo de la mediana cuando la variable era discreta. Para el caso de la variable continua, si usamos intervalos se realiza de la misma forma y se obtiene el intervalo mediano. No obstante, si consideramos que los datos se distribuyen uniformemente se puede calcular el valor exacto de la mediana mediante la siguiente fórmula:

El applet de Descartes de Luis Barrios Calmaestra nos permite realizar el cálculo de este parámetro de forma sencilla.

En la escena que aparece a continuación puedes practicar el cálculo de la mediana para una variable discreta.

AV - Reflexión

Los jugadores de un equipo de baloncesto se clasifican por la altura según la siguiente tabla

Alturas

Número de jugadores

[1'70,1'80)

[1'80,1'90)

[1'90,2'00)

[2'00,2'10)

Hallar la media, el intervalo modal, la moda, el intervalo mediano y la mediana

Para saber más

Además de las medidas de centralización existen otras medidas, las medidas de posición. Éstas, como ocurre con la mediana, nos dan el valor que deja un porcentaje de la población a su izquierda. La mediana puede considerarse también una medida de posición, ya que deja el 50% de la población a su izquierda.

Estas medidas son los cuartiles, los deciles y los percentiles. Realmente los cuartiles corresponden al percentil 25 y 75, pues dejan respectivamente el 25% y el 75% de la población a su izquierda. Vamos a ver en el siguiente vídeo como realizar el cálculo del percentil.