1. Vueltas y más vueltas


 Imagen de Basilievich con licencia Creative Commons

Este año, como es tradicional, se ha montado la noria en la feria. La tasa del ayuntamiento por el alquiler de la parcela ha sido de 45.000,00€ para la semana que dura la feria. El gasto en montaje y mantenimiento ha supuesto 6000,00€. El coste para el empresario por realizar un viaje es de 100€.

El coste total según el número de viajes que se dan será:

C(x)=100x+51000

El coste medio por viaje, según el número de viajes que se han dado será:

Nº de Viajes
 50 100 150 200 250 300 ... 1000
5000
10000
15000
20000
25000
30000
 Coste medio
 1120,00 610,00
440,00 355,00
304,00 270,00
... 151,00
110,20
105,10
103,40
102,55
102,04
101,70

Está claro que cuantos más viajes demos más nos acercaremos a la cantidad de 100,00 € por coste medio del viaje, pero nunca llegaremos a alcanzarlo. Expresado en términos matemáticos:

En este caso la recta y=100 es una asíntota horizontal, pues cuanto más viajes damos más se aproxima la función a la recta.

Puedes comprobarlo en la siguiente animación, moviendo el deslizador a valores más grandes y viendo que la diferencia entre la función y la recta y=100 es cada vez más pequeña.

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Icono IDevice Importante
Dada una función y=f(x) cuya gráfica es la curva C se dice que la recta r es una asíntota de f(x) si la curva C se acerca a r indefinidamente sin llegar a coincidir con la propia r

Como una asíntota es una recta, tenemos hasta tres posiciones distintas de una recta con relación a los ejes.

Recta vertical  Recta horizontal  Recta oblicua 

Por ello, para cada función pueden existir hasta tres tipos distintos de asíntota.

La vertical existirá si el límite de la función tiende a infinito cuando x tiende a un valor finito a, su valor será x=a. 

La horizontal  y la oblicua las encontraremos cuando estudiemos lo que ocurre cuando la variable independiente tienda a más o menos infinito.

En el caso de funciones racionales podemos hacer un estudio particular para saber que tipos de asíntotas tendrán según sean el numerador y el denominador. Veámoslo en la siguiente presentación. Pulsa sobre la imagen para ir pasando de página.

 


Icono de iDevice AV - Actividad de Espacios en Blanco

Señala las asíntotas de cada una de las siguientes funciones. Para ello rellena los espacios de la forma x=2 si es vertical, y=-3 si es horizontal e y=2x+1 si es oblicua. En caso de que no tenga alguna de ellas escribe no. Pondremos dos asíntotas verticales por si hay más de una.

apartado (a) apartado (b)
 apartado (c) apartado (d) 
 
 

 

apartado (a)

vertical1 ;     vertical2 ;     horizontal en -∞ ;     horizontal en +∞ ;     oblicua en -∞ ;     oblicua en +∞ ;

apartado (b)

vertical1 ;     vertical2 ;     horizontal en -∞ ;     horizontal en +∞ ;     oblicua en -∞ ;     oblicua en +∞ ;

apartado (c)

vertical1 ;     vertical2 ;     horizontal en -∞ ;     horizontal en +∞ ;     oblicua en -∞ ;     oblicua en +∞ ;

apartado (d)

vertical1 ;     vertical2 ;     horizontal en -∞ ;     horizontal en +∞ ;     oblicua en -∞ ;     oblicua en +∞ ;