a) Tenemos que representar una función definida a trozos. En ambos trozos se trata de líneas rectas, por lo que para representarlas nos basta con conocer dos puntos por los que pasa.

Si x<1, le damos a x el valor cero, y así obtenemos el punto de corte con el eje OY: f(0) = 0 +1 = 1, pasa por el punto (0, 1). El otro valor es conveniente darlo en el punto donde la función cambia de expresión, en este caso cuando x = 1. En la recta -x+1, si x=1 la ordenada saldría -1+1=0, por lo que la recta llega hasta "casi" el punto (1, 0). Decimos casi porque el valor que tendrá la función en x=1 será el que le corresponda por la expresión de .

Para los valores de , el primer valor adecuado sería precisamente x=1, en cuyo caso la función vale: f(1)=1-1=0, por lo que la semirrecta empieza en el punto (1, 0). Otro punto adecuado si sería x = 2 (aunque puedes elegir cualquier valor mayor que uno) y obtenemos f(2) = 2 - 1 = 1, por lo que la semirrecta pasa por el punto (2, 1).

La representación gráfica queda por tanto:

b) Si x < 1, f(x) = -x+1, que es una función polinómica y es continua y derivable en todo R, en particular en x<1. Si x > 1, f(x) = x-1, que es una función polinómica y es continua y derivable en todo R, en particular en x>1.