2.2. ¿Alguien se había olvidado de Gauss?
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| Imagen tomada del Banco de Imagenes y sonidos del ITE. |
En este apartado lo que vamos a ver es como, para resolver un sistema, es posible trabajar con expresiones más simples que las que hemos visto hasta el momento. En concreto vamos a trabajar solamente con los coeficientes del sistema y no vamos a tener que arrastrar las incógnitas ni las igualdades. Quizás piense que esto es algo nuevo pero no es así.
Curiosidad
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| 6. Paolo Ruffini, imagen de dominio público tomada de Wikimedia Commons. |
El trabajar sólo con coeficientes para no tener que ir arrastrando las variables no es algo que debe resultarte desconocido. Aunque no lo recuerdes, seguro que en tus años de estudiante en el instituto viste la Regla de Ruffini para hallar el cociente y resto de la división de un polinomio entre divisores de la forma x-a, siendo a un número cualquiera. En dicha regla se distribuyen, en una caja, ordenadamente los coeficientes del polinomio y mediante sumas y multiplicaciones es posible hacer la división.
El matemático italiano Paolo Ruffini (1765, 1822) se graduó, además de en Matemáticas, en Medicina y Filosofía. Durante muchos años ocupó las cátedras de Medicina y Matemáticas en la Universidad de Modena, de la que fue Rector. Como curiosidad comentar que enfermó durante una epidemia de tifus, y que algunos años más tarde presentó un estudio de dicha enfermedad basado en su propia experiencia.
Trabajó principalmente en el campo del álgebra, en concreto en la búsqueda de las soluciones de ecuaciones de grado inferior a cinco.
El Método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales consiste en tomar la matriz ampliada del sistema y, mediante las transformaciones típicas de Gauss, conseguir una matriz triangular superior. Una vez conseguida, basta volver a recomponer el sistema que queda obteniéndose un sistema escalonado, es decir, un sistema donde cada ecuación tiene una incógnita más que la anterior.
Recordemos, antes de empezar, los procedimientos que podemos seguir en el método de Gauss.
- Podemos cambiar dos filas entre sí.
- Podemos multiplicar o dividir una fila completa por cualquier número.
- Si hay dos filas iguales podemos eliminar una de ellas.
- Si una fila es completa de ceros, podemos eliminarla.
- A una fila le podemos sumar otra cualquiera multiplicada por un número.
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Si te fijas en concreto en la última propiedad puedes comprobar que el Método de Gauss es una generalización del Método de Reducción que viste en el apartado anterior.
Lo mejor es que veamos, con un ejemplo, como se aplica el método de Gauss. Puedes verlo en la presentación adjunta.
En el siguiente applet puedes ver los pasos para estudiar un sistema y resolverlo mediante el Método de Gauss. Puedes escribir en la parte inferior los coeficientes y elegir en la parte superior el número de ecuaciones e incógnitas. Al seleccionar el pulsador de paso puedes ver como se va resolviendo el sistema.
Actividad de descartes creada por Alfredo Pena Iglesias bajo licencia CC bu-nc-sa/2.5
AV - Reflexión
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