2.1. Composiciones explosivas

¿En qué tipo de laboratorio estaríamos si no hiciéramos mezclas o composiciones explosivas? Sabemos que el nuestro es algo particular pero... ¿que ocurriría si hiciéramos una de estas "composiciones" con las funciones?

Vamos a trabajar la siguiente escena de Geogebra para hacernos una idea de la noción del concepto composición de funciones.

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Actividad

Dadas dos funciones, f y g, se llama función compuesta de f con g a la función

$(g\circ f)$

que cumple que:

$(g\circ f)(x)=g[f(x)]$

La expresión $(g\circ f)(x)$ la leemos como f compuesta con g de x. Para nombrarla comenzamos por la función que se encuentra a la derecha, más cerca de la x, porque es la primera que actúa sobre esta variable.

De vuelta en el laboratorio, quizás lo de mezclas explosivas nos asuste un poquito, pero no debemos preocuparnos no es necesario que colguemos en nuestra puerta una advertencia semejante a esta:

Imagen tomada del blog

Noticias Ambientales Internaciona

pero si tenemos que tener presentes algunas indicaciones.

¡¡WARNING 1: DOMINIO DE LA COMPOSICIÓN!!

Todos sabemos que el aceite y el agua no se mezclan. No es que nosotros tengamos funciones que no se puedan componer unas con otras, pero sí tenemos puntos donde la composición no tiene sentido.

¡¡WARNING 2: LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES EN GENERAL NO ES CONMUTATIVA!!

En nuestro caso, el orden de los factores si altera el producto.

En el siguiente ejercicio resuelto, puedes observar el porqué de estas dos advertencias...

Ejemplo o ejercicio resuelto

Si tenemos las funciones,

$f(x)=\frac{3x-1}{2x+3}$

$g(x)=3x+2$

Vamos a calcular $f\circ g$ , $g\circ f$

Caso de estudio

Un concesionario oficial de coches ofrece un descuento a los jóvenes menores de 30 años que adquieran un vehículo en sus dependencias. El importe de dicha ayuda está supeditado a los ingresos del comprador.

La ayuda está dividida en tramos. Los tramos vienen definidos por la siguiente función.

$\small f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & si & x\leq 1000\\ 2 & si & 1000<x\leq 2000\\ 3 & si &2000<x\leq 3000 \\ ... & ... & ... \end{matrix}\right.$

Una vez conocido el tramo, la cuantía de la ayuda se obtiene divididendo 800 euros entre el número de tramo, es decir, si x es el tramo, la ayuda será:

$\small g(x)=\frac{800}{x}$

Determina la función a trozos que nos da directamente la cuantía de la ayuda, conocido el sueldo de la persona.

Observa que la función que estamos buscando no es más que la composición de f y g, es decir g°f.

Objetivos

En este enlace a la página vadenumeros tenemos más actividades para practicar la composición

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