1.3. Agárrate que vienen curvas

El siguiente vídeo (aunque parezca increíble) no tiene nada que ver con los terremotos, esta vez es la fuerza del viento la que nos pone en órbita, pero nada de huracanes, un viento de 65 km/hora:

Supongo que has observado el movimiento que describe el puente antes de derrumbarse. Esto es debido a un fenómeno llamado resonancia. Pero vayamos a cuestiones más sencillas, este movimiento de tipo ondulatorio podemos representarlo en los ejes coordenados a través de una familia de funciones llamadas funciones trigonométricas. A pesar de que esta familia es más extensa, nosotros estudiaremos únicamente la función seno, la función coseno y la función tangente.

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  • La función seno es aquella función que a un número real x, le asocia el seno de ese número, es decir f(x)=sen x.
  • La función coseno es aquella función que a un número real x, le asocia el coseno de ese número, es decir f(x)=cos x.
  • La función tangente es aquella función que a un número real x, le asocia la tangente de ese número, es decir f(x)=tg x.

Recordamos que la tangente de un ángulo se podía definir como el cociente entre el seno y el coseno de ese ángulo. Con las funciones ocurre lo mismo. Ya vimos en el tema anterior que podíamos calcular el cociente entre dos funciones. Hay que tener en cuenta que este tipo de funciones sólo estaba definida para aquellos puntos en los que la función que se encuentra en el denominador sea distinta de cero. Por eso, antes de estudiar la función tangente nos detendremos en las funciones seno y coseno.
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Si nos fijamos en el movimiento que describe el puente parece que se repite cada cierto tiempo. En las funciones también puede ocurrir. Si en la gráfica de una función observamos que los valores se repiten siempre cada cierto intervalo, decimos que la función es periódica, y a la longitud de este intervalo se le llama periodo. Es decir, si T es el periodo f(x)=f(x+T).

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Estudia estas dos gráficas:


f(x)=sen (x) g(x)=cos (x)

Y completa sus propiedades con los siguientes términos: decreciente, par, creciente, periódicas, -1, R, impar, 1.

  1. El dominio de ambas funciones coincide y es .
  2. El recorrido de ambas es [ , ].
  3. Son de periodo 2∏.
  4. Monotonía: La función seno, es en los intervalos [0,∏/2] y [3∏/2,2∏], y en [∏/2,3∏/2]. La función coseno es de [∏,2∏] y de [0,∏].
  5. Simetría: La función seno tiene una simetría y la coseno una simetría .
  

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Observa las siguientes funciones:

f(x) g(x)

Una de estas gráficas corresponde a la tangente, ¿cuál? Recuerda que la tangente es el cociente entre el seno y el coseno.

 

  
La función f
La función g

Hemos estudiado ya las funciones seno y coseno, ahora se nos presenta la función tangente. Fíjate cómo tiene asíntotas verticales en aquellos puntos donde la función coseno se hacía 0. Pero empecemos por el principio:
  • El dominio de esta función son los números reales excepto los múltiplos de ∏/2.
  • Su recorrido, todos los números reales.
  • Es periódica de periodo ∏.
  • Es creciente en todo su dominio.
  • Tiene una simetría impar.

 

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Las funciones trigonométricas, también se llaman funciones circulares. Observemos en el siguiente enlace cómo van apareciendo estas funciones a partir de los ángulos de la circunferencia.

Desde el punto de vista matemático las gráficas de las funciones seno y coseno son formas perfectas, paradigmáticas, de bellas y armoniosas ondas. A partir de ellas se construyen los demás movimientos “armónicos”. Destacan por su periodicidad y repetición cíclica.

Muchos fenómenos que se observan en la naturaleza son periódicos y revisten carácter cíclico. La vida está medida y gobernada por la sucesión de días y noches, veranos, inviernos, años... El cuerpo humano está constantemente animado por ritmos fisiológicos, latidos, respiraciones... Las máquinas que el hombre inventa están gobernadas por la repetición a intervalos regulares de tiempo, incluso la actividad social, como la música, o las elecciones democráticas tienen también su ritmo cíclico.

 

y=cos(x) por kenwood
CC by-nc 2.0

undulating por shindohd
CC by-nc-sa 2.0
 undulations por wanderignone
CC by-nc-nd 2.0
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Fíjate en las tres fotos anteriores, y en sus títulos. En las dos últimas se aprecia claramente la relación existente entre ellas y las funciones trigonométricas, sin embargo la primera que a priori es diferente tiene un título más explícito... ¿cuál será la relación existente entre esta imagen y nuestra función coseno?

La respuesta la encontramos en el siguiente artículo del diario el Mundo:

"Desde abajo, la torre arranca con una base cuadrada y a medida que se eleva va perdiendo sección, esa pérdida va generando una curva que matemáticamente representa la función y=coseno de x"

Por cierto, igual has reconocido en esta foto al edificio madrileño Torre Espacio.


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La temperatura del aire, T, en grados centígrados, en una cierta ciudad, en un día de primavera, viene dada por la función:

donde t es el tiempo medido en horas desde la medianoche.

  1. ¿Cuál es la temperatura a las 8 h, a las 12 h y a las 6 de la tarde?
  2. Representa gráficamente la función.

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