2.3 Plano inclinado

Una vez vistos los ejemplos generales de cuerpos enlazados en una dimensión, es momento de ver el caso más complejo que trataremos en esta unidad: dos cuerpos enlazados en un plano inclinado. Este problema no exige ningún conocimiento especial distinto de los que ya se han estudiado, únicamente presenta una mayor dificultad en el sentido de que algunas fuerzas no actúan en las direcciones de los ejes elegidos, y exige aplicar lo aprendido tanto en el estudio de los planos inclinados como en el de la dinámica de cuerpos enlazados. Por ello resulta un buen candidato para finalizar el tema y servir de repaso de lo anterior.
 
Para facilitar su estudio, nos serviremos de un applet java, de funcionamiento muy sencillo, en el que únicamente hay que completar los datos en la fila superior, y en la inferior obtendremos los valores de las fuerzas para cada uno de los cuerpos, la aceleración del sistema y, encima de la polea, el sentido de movimiento.
 
En el caso particular que ves, los parámetros son: m1 = 8 kg, m2 = 12 kg; los ángulos de las paredes: α = 30º, β = 60º y los coeficientes de rozamiento μes = 0.4 y μdi = 0.3.
 
Con estos valores, el conjunto se mueve hacia la derecha con a = 1.23 m/s2 y el valor de la tensión de la cuerda es de 69.49 N

Animación 2 de Tavi Casellas (fislab.net) de libre distribución.
Imagen 23 de elaboración propia
Para resolver analíticamente el caso que ves, basta con considerar el estudio del sistema en dos planos inclinados, teniendo en cuenta que la tensión y la aceleración serán las mismas para cada uno de los cuerpos.
 
Pero vas a resolver un caso algo más simple, en el que una de las paredes es perpendicular al suelo. El esquema de fuerzas será similar al que puedes observar al lado de estas líneas.
 
En esta ocasión los ángulos serán α = 30º, β = 90º.
 
En primer lugar se escriben las ecuaciones correspondientes a cada uno de los cuerpos; para el cuerpo situado en el plano inclinado, éstas serán las generales del plano inclinado que ya se calcularon sin más que sustituir F por la tensión T, resultando:
 
 
Para el segundo cuerpo, las ecuaciones son mucho más simples por tratarse de un sistema en una única dirección. Lo único que debe tenerse en cuenta es que, como se ha tomado como sentido positivo en el primer cuerpo el de la tensión, en el segundo cuerpo el sentido positivo será aquel en el que la aceleración es hacia abajo, ya que según hemos visto deberán ser iguales. Por todo ello las ecuaciones quedarán:
 
 
en la hay que destacar que tanto la tensión (T) como la aceleración (a) son iguales para ambos cuerpos.
Icono de iDevice Ejemplo o ejercicio resuelto

En el problema descrito anteriormente (α = 30º, β = 90º) las masas de los cuerpos son m = 8 kg y m' = 5 kg. Si los coeficientes de rozamiento son μes = 0.5 y μdi = 0.2,

a) ¿El sistema se moverá o permanecerá en reposo? ¿Cuál será el valor de la tensión de la cuerda(T)? Comprueba los resultados con el simulador.

b) Si se duplica la masa que cuelga (ahora m' = 10 kg), ¿se moverá el sistema? En caso afirmativo, ¿cuál será ahora la tensión de la cuerda? ¿Con qué aceleración se moverá? Comprueba los resultados con el simulador.

Icono de iDevice AV - Reflexión
Con la configuración del plano inclinado anterior (α = 30º, β = 90º y coeficientes de rozamiento μes = 0.5 y μdi = 0.2) colocamos un sistema enlazado de cuerpos en el que el cuerpo colgante tiene una masa m' = 1 kg. En el plano inclinado vamos colocando sucesivamente pesas de 1 kg. ¿Cuál será la masa (m) mínima del cuerpo situado en el plano inclinado para que el sistema comience a moverse hacia la izquierda, es decir, para que el cuerpo colgante comience a subir? Utiliza el simulador para encontrar la solución.