Caída libre: Lanzamiento vertical

Importante

Al lanzar un cuerpo verticalmente hacia arriba, ¿a qué fuerza está sometido una vez que abandona nuestra mano? A la fuerza de atracción gravitatoria y al rozamiento con el aire, ¿verdad? Si este último es despreciable, ese cuerpo está sometido sólo a la fuerza de atracción de la Tierra y por lo tanto... Efectivamente estamos hablando también de una caída libre.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Supongamos que en ausencia de viento y despreciando el rozamiento con el aire lanzamos una piedra hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. ¿A qué altura máxima llegará la piedra? ¿Con qué velocidad se moverá la piedra en ese momento? ¿En qué momento alcanzará los 25 metros de altura? ¿Y los 15? Supón que la piedra abandona tu mano a 1,50 metros de altura respecto del suelo.

Antes que nada escribimos las ecuaciones del MRUA adaptadas para una caída libre:

Ahora tenemos que leer el enunciado y obtener la información necesaria para obtener las ecuaciones concretas de nuestro caso. Podemos colocar el origen de nuestro sistema de referencia en el suelo, con lo que la piedra al principio estaría a una altura de 1,5 metros o bien colocarlo en la mano justo cuando se produce el lanzamiento y entonces la posición inicial sería 0m. Optamos por la primera opción.

Si sustituimos en las ecuaciones anteriores obtenemos las ecuaciones de nuestro movimiento:

A partir de este momento ya estamos preparados para contestar cualquier pregunta sobre nuestro movimiento.

¿A qué altura máxima llega? Bien. Nuestra piedra empieza a subir y sabemos que irá perdiendo velocidad poco a poco hasta pararse. A continuación empezará a caer. Mientras va subiendo la altura va creciendo y llegará a una altura máxima justo antes de volverse. Es decir, cuando se pare. Esto significa que buscamos la altura y cuando la velocidad se hace cero. Si en la ecuación de la velocidad hacemos v_y igual a cero podemos despejar el tiempo:

Ya sabemos en qué instante la piedra se para y por tanto alcanza su máxima altura, pero ¿qué valor tiene la altura en ese instante? Para eso basta con sustituir en la ecuación y-t.

La piedra llega hasta una altura de 21,5 metros respecto del suelo, 20 metros más alto de la altura a la que la soltamos.

¿Con qué velocidad se moverá la piedra en ese momento? A 0 m/s, está parada en ese instante.

¿En qué momento alcanzará los 25 metros de altura? Si la piedra alcanza como máximo 21,5 metros está claro que no va a llegar nunca a los 25 metros de altura. De todos modos vamos a usar las ecuaciones del movimiento a ver qué ocurre.

Buscamos en qué instante (t) la altura (y) es 25 m.

Ahora aplicamos la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado:

Como la raíz cuadrada de un número negativo no existe tenemos que concluir que nuestra piedra en ningún instante alcanza la altura de 25m.

¿Y los 15? Supón que la piedra abandona tu mano a 1,50 metros de altura respecto del suelo.

Ahora aplicamos la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado:

Ahora encontramos dos soluciones para el tiempo:

¿Cómo podemos interpretar esto? Pues muy sencillo. Nuestra piedra pasa dos veces por esa altura: una al subir y otra al bajar. La primera vez pasa a los 0,86 segundos y luego vuelve a pasar a los 3,14 segundos.

Para saber más

Vamos a pensar un poco. Hemos visto que un cuerpo lanzado desde el suelo sube perdiendo velocidad hasta que se para en el punto de máxima altura. Luego ese cuerpo comienza a caer aumentando su velocidad hasta de nuevo llegar a suelo. La pregunta es: ¿son iguales los tiempos de subida y bajada? . Otra más: ¿llega al suelo con más velocidad con la que salió?

Pues bien. Vamos a pensar en un caso concreto para hacer el razonamiento más sencillo. Supongamos que lanzamos desde el suelo un objeto con una velocidad inicial de 20 m/s. Estudiemos primero el ascenso. Las ecuaciones serán:

La altura máxima la calculamos imponiendo la condición de que el objeto se para a esa altura.

El objeto tarda dos segundos en alcanzar su altura máxima. La altura alcanzada es de:

Por tanto tenemos un objeto que parte del suelo con una velocidad de 20 m/s y debido a la aceleración de la gravedad va perdiendo velocidad hasta pararse a 20 metros del suelo.

Analicemos ahora la caída. Vamos a escribir de nuevo las ecuaciones teniendo en cuenta que ahora partimos del reposo (v_yo=0m/s) y de una altura inicial (y_o=20 m) distinta de cero.

¿Cuánto tardará el objeto en llegar al suelo? Pues haciendo cero la altura podemos despejar el tiempo.

Nos quedamos con el resultado positivo y comprobamos que nuestro objeto tarda el mismo tiempo en subir que en bajar. Vamos a calcular ahora la velocidad al llegar al suelo.

Observamos que la velocidad al llegar al suelo es igual, y de signo contrario, a la velocidad con que lo lanzamos.

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